雙模Jordan KdV方程的多孤子解與精確解

趙露

(寧波大學數學系,浙江 寧波 315211)

1 引言

一般來說,大多數非線性方程都是關于時間t的一階導數的方程,它們描述了單一方向的波.例如,KdV方程,Burgers方程等,這些模型均是沿x軸正向傳播.Boussinesq方程是關于時間t的二階導數的方程,它沿x軸正向和負向兩個方向傳播.然而,在1994年,文獻[1]第一次提出了雙模KdV(TKdV)方程,它是關于時間t的二階導數的方程,描述了沿同一方向傳播的兩個不同的波的傳播.這兩個波具有相同的耗散關系,不同的像速,線性和非線性參數.雙模KdV方程定義如下:

其中u(x,t)是場函數,ci(i=1,2)表示像速度,αi為非耗散系數,βi為耗散系數,且x,t,α,β滿足

經過特殊的變換,方程(1)可以約化為:

其中

可以看出,當s=0時,TKdV方程(1)就約化為了標準形式的KdV方程.

文獻[2-12]中給出了TKdV方程(2)的一些性質.其他的雙模方程也已經被研究,例如雙模mKdV方程[13],雙模KP方程[14],雙模Burgers方程[15]和雙模耦合的KdV方程[16]等[17-20].本文將研究Jordan KdV(JKdV)方程組:

該方程組首次在文獻[21]中提出.其中,當u=v=w時,JKdV方程組(4)可約化為標準的KdV方程.根據Korsunsky在文獻[1]中提出的方法,構造新的雙模Jordan KdV(TJKdV)方程組,即

當s=0時,TJKdV方程組(5)可以約化為JKdV方程組(4).

本文結構安排如下:第二節,利用簡化的雙線性方法[22-25],找到了TJKdV方程組(5)的多孤子解存在的條件.第三節,利用tanh/coth方法和tan/cot方法找到TJKdV方程組的其他精確解.

2 多孤子解

在本節中,將利用簡化的雙線性方法研究雙模Jordan KdV(TJKdV)方程組的多孤子解.把方程組

代入方程組(5)中并比較線性項與非線性項,得到耗散關系

因此

利用cole-hopf變換

其中R1,R2,R3為待定常數.對于單孤子解我們令函數f(x,t)為:

把方程(9),(10)代入TJKdV方程組(5)并求解R1,R2,得到當

時,單孤子解存在.把(11)式與(10)式代入方程組(9),可得TJKdV方程組(5)的單孤子解如下:

對于二孤子解,令

把方程(9),(12)代入TJKdV方程組(5)并求解a12,可得當

時,二孤子解存在.利用同樣的方法可以得到a23,a13的具體表達式,即

因此二孤子解為

為了得到三孤子解,令

其中θi(i=1,2,3)由(8)式決定,aij(1≤i

把方程(9)和方程(14)代入TJKdV方程組(5)并求解a123,得到

3 其它的精確解

經過第2節的討論,我們知道孤子解存在只是針對特殊的α,β值,而對于一般的非耗散參數α與耗散參數β值,孤子解是否存在,我們并未討論,并且這也是迄今為止未解決的問題.而在接下來的研究中,將會對一般的α和β的值來求TJKdV方程組的精確解.

3.1 tanh/coth方法

在本節中,我們將會利用tanh/coth方法來求TJKdV方程組的精確解.設

把(15)代入方程組(5),在所得方程中平衡非線性項與耗散項可得

則

3.1.1 βα

把方程組(16)代入TJKdV方程組(5)并比較所得方程中tanh(kx?ct)的各次冪的系數,得到

由 (17)式及 (16),得解

若設

與tanh(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

3.1.2 β=α

把方程組(16)代入TJKdV方程組(5)并令β=α,在所得方程中比較tanh(kx?ct)的各次冪的系數,可以得到

這里的a0,b0,b1為非零常數,由(21)及(16)式,得解

其中c由(21)式決定.

若設

與tanh(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,b0,b1為非零常數,c由(21)式決定.

3.2 tan/cot方法

在本節中,利用tan/cot方法來求TJKdV方程組的精確解.設

把(25)式代入方程組(5),在所得方程中平衡非線性項與耗散項可得

則

下面分兩種情況討論.

3.2.1 βα

把方程組(26)代入TJKdV方程組(5)并比較所得方程中tan(kx?ct)的各次冪的系數,得到

由 (27)及 (26)式,得解

其中a0,a1,c1為非零常數,c滿足(28)式.

若設

與tan(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,a1,c1為非零常數,c滿足(28)式.

3.2.2 β=α

把方程組(26)代入TJKdV方程組(5)并令β=α,在所得方程中比較tan(kx?ct)的各次冪的系數,可以得到

這里的a0,b1,b2為非零常數,因此可得解

其中a0,b0,b1為非零常數,c滿足(31)式.

若設

與tan(kx?ct)方法的步驟相似,可求得奇異解

其中a0,b0,b1為非零常數,c滿足(31)式.

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