一類半線性橢圓型方程組的邊值問題

金啟勝, 鐘金標

(1.安慶師范大學,安慶職業技術學院,安徽 安慶 246003;2.安慶師范大學數學與計算科學學院,安徽 安慶 246133)

1 引言

考慮下面一類半線性橢圓型方程組:

其中

而且

(I)??Rn是有界光滑域;

(II)G(x)中每一項在?上面連續,并且gij≥0,i,j=1,2,···,n;

(III)hk(x,u1,···,un),k=1,2,···,n對于每一個變元都連續;

(IV)存在正常數c,對于 (x,U)∈R2n,都有 0≤hk(x,U)≤c,x=1,2,···,n成立.

令

引進范數

λ1為狄利克雷條件下?△在?的第一特征值.

所以方程組(1)和下面方程組(2)等價:

引理 1.1[1]設Z是一個Banach空間,C是Z的一個閉凸集.如果T是C到C的一個緊映射,R是一個正常數,使得對任意的U∈C,||U||=R.

但是UtT(U),0≤t≤1,那么T有一個不動點U∈C,而且||U||≤R.

2 主要結論和證明

定理 2.1[2]如果|G(x)|<λ1,那么方程組(3)只有零解.

證明因為gkk<|G(x)|<λ1,所以gkk<λ1,k=1,2,···,n故算子L存在逆算子

并且

是線性緊正算子[3].故方程組(3)等價于:

把第k個方程兩邊都乘以uk,k=1,2,···,n,同時在?上積分,再利用格林第一公式就可以得到

利用Holder不等式,Poincare不等式和Cauchy不等式,得到

將上面每個式子相加便得到

又因為|G(x)|<λ1,可得

所以

故得到

定理 2.2[4-5]如果|G(x)|<λ1,,那么方程組(2)存在正解而且有界.

證明令

Z中各項都非負.??上面的零向量函數構成正錐K,所以K為Z的閉凸集.作一算子T:K→K,使得對U∈K,有

根據定理2.1可知,L?1為線性緊正算子;又A(x),H(x,U)中每一項連續非負,從而

也是緊正算子.可知算子T:K→K是緊正算子.

下面利用反證法證明T滿足引理的條件.

若T不滿足引理的條件,則存在{tn}?[0,1],{Un}?K,當n→+∞時,

因為L?1,L?1A(x)為線性算子,令

代入(8)式,得到

因為0≤H(x,Un)≤c,所以

因為L?1A(x)為線性緊正算子,

故是列緊集.所以通過取子列可得到tn→t0∈[0,1],L?1A(x)Wn收斂.所以

再對(9)式取極限便可得到

根據定理2.1的證明可知,W0≡0,顯然與∥W0∥=1矛盾.從而T滿足引理的條件,故T有一個不動點U∈K,∥U∥≤R,R是一個正常數.所以

即

所以U為方程組(2)的解,而且有界.這也說明了方程組(1)存在有界正解.

如果對方程組(1)中的非線性項進行適當修改,還可以證明正解的唯一性.把方程組(1)中的H(x,U)改為

并且

(I)hk(x,uk),k=1,2,···,對于每一個變元連續;

(II)存在正常數c,對于 (x,uk)∈Rn+1,有 0≤hk(x,uk)≤c,k=1,2,···,n,成立;

(III)對于(x,uk)∈Rn+1,0≤hk(x,uk)≤c,k=1,2,···,n關于uk是單調遞減的.考慮下面方程組:

G(x),U和方程組(1)相同.

定理 2.3[6]如果|G(x)|<λ1,那么方程組(10)存在唯一解.

證明設

是方程組(10)的兩個解,那么有

把上面兩個方程兩邊乘以(uk?vk),得到

把(13)和(14)式在?上積分,再利用格林第一公式,得到

把 (15)式減去(16)式,得到

因為hk(x,uk),k=1,2,···,n關于uk是單調遞減的,故

所以根據(17)式,得到

使用Holder不等式,Poincare不等式和Cauchy不等式,得到

把上面n個不等式相加,得到

因為|G(x)|<λ1,所以得到

根據得到

從而U≡V,所以方程組(10)存在唯一解.

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