風電齒輪箱在隨機風載下的疲勞損傷計算模型

向 東， 蔣 李， 沈銀華， 韋堯中(清華大學 機械工程學院， 北京 100084)

隨著社會發展，能源需求變得越來越緊迫，而風能是既清潔又安全的能源，具有很大的發展潛力[1]。風力發電機是一種將風能轉換為電能的機電設備，風電增速齒輪箱是其中的一個關鍵零部件，它的疲勞可靠性會影響整個風機的運行狀態；然而風力發電機一般安裝在一些偏遠地區，工作環境惡劣，造成齒輪箱的工作載荷非常復雜。齒輪箱在這種隨機風載下的疲勞壽命計算對于齒輪箱的設計具有重大的指導意義。

風機整體仿真可以獲取齒輪箱的輸入輸出載荷，很多學者都對風機的整體仿真進行了研究。Nejad等[2]利用風機整體仿真軟件FAST獲取風機在不同基底下的動力學響應，進而研究不同基底對齒輪箱疲勞壽命的影響。謝雙義[3]在FAST和Simulink風機聯合仿真模型的基礎上，設計了多種變槳控制策略以降低風機的振動。張晨虬[4]利用風機整體仿真軟件FAST計算了5 MW風機主軸的載荷，并且利用有限元分析主軸的應力分布從而分析主軸的疲勞壽命。付長江等[5]通過FAST軟件建立了ADAMS風機模型，研究在湍流風作用下風機的動力學響應。

齒輪箱的動態載荷是影響齒輪箱疲勞壽命的一個主要因素，對于風電齒輪箱的動態載荷很多學者做了研究。Osman等[6]通過疲勞裂紋擴展的方法建立了從齒輪動態載荷計算齒輪接觸疲勞的模型。Ajmi等[7]提出了通過將齒輪進行分片處理從而計算寬齒面齒輪和斜齒輪在嚙合時的動態載荷的模型。秦大同等[8]建立了風電齒輪箱傳動系統的微分方程，并且根據微分方程優化了齒輪箱的設計參數，減弱了關鍵零部件的振動。徐向陽[9]建立了柔性銷軸式風電齒輪箱的動力學方程，研究了柔性銷軸對齒輪箱動力學的影響。

齒輪的疲勞壽命的計算是很復雜的，目前有多種計算齒輪疲勞壽命的方法。Dong等[10]通過將點蝕裂紋考慮為II型裂紋從而根據齒輪載荷計算裂紋的擴展速度，進而估算風電齒輪箱的點蝕疲勞壽命。Li等[11]綜合考慮摩擦、表面粗糙度和多軸疲勞提出了直齒輪的微點蝕預測模型，并且提出了微點蝕嚴重程度系數表征表面的損傷程度。Brandao等[12]提出了一種能夠同時預測齒輪點蝕和磨損的仿真模型，能夠很好的預測齒面形貌。

上述文獻分別研究了風機整體分析、齒輪箱動力學分析和齒輪壽命計算，而研究風電齒輪箱在隨機風載下的疲勞壽命的文章比較少，很多研究僅僅停留在風電齒輪箱的動力學的研究，而本文將風機整體仿真、齒輪箱動力學仿真和齒輪疲勞壽命的計算結合起來，在風電齒輪箱動力學計算結果的基礎上建立了風電齒輪箱在隨機風載下的疲勞壽命計算模型，并且通過實例分析介紹了各個階段的參數設置，從各個齒輪的疲勞損傷計算結果找到了各級齒輪中最危險的齒輪。

本文提出的風電齒輪箱疲勞壽命計算模型的總體框架，如圖 1所示。總共分為三個階段：風機整體分析、齒輪箱動力學分析和齒輪疲勞損傷分析。風機整體分析是為了獲取齒輪箱在隨機風載作用下的輸入輸出條件，為齒輪箱的動力學分析提供邊界條件；齒輪箱的動力學分析是在風機整體仿真結果的基礎上計算齒輪箱在運行過程中的動態載荷；齒輪疲勞損傷分析是在齒輪動態載荷的基礎上依據線性損傷累積理論計算齒輪的彎曲和接觸疲勞損傷，進而估算齒輪箱的疲勞壽命。

圖1 風電齒輪箱疲勞壽命計算模型總體框架圖Fig.1 Process of calculating wind turbine gearbox’s fatigue damage

1 整體仿真分析

要計算風電齒輪箱在隨機風載下的疲勞壽命，齒輪箱在隨機風載下的載荷是不可或缺的信息，整體仿真模型就是要獲取風電齒輪箱在隨機風載下的輸入扭矩和轉速、輸出扭矩和轉速，為下一步具體分析各個齒輪間的動態嚙合力提供邊界條件。

1.1 整體仿真數學模型

本文在NREL實驗室提供的風機整體仿真軟件FAST的基礎上建立了風機整體仿真模型結構，如圖 2所示，主要由三部分構成：空氣動力學模型、結構動力學模型和控制模型。結構動力學模型主要考慮風機從葉輪到發電機端的各個零部件之間扭矩和轉速的傳遞?？諝鈩恿W模型是根據風的風向、風速，結合葉輪截面形狀和槳距角計算葉輪的輸入扭矩，這個扭矩也是風力發電機的動力輸入。結構動力學模型、空氣動力學模型在FAST軟件中已經經過封裝，詳情可參見文獻[13-14]；而風力發電機的控制模型采用自定義模型，下面將詳述本文采用的控制模型。

圖2 風機整體仿真結構Fig.2 Diagram of wind turbine global analysis

風機的控制模型由偏航控制、槳距角控制和電機控制組成。偏航控制是當風向發生改變時，調節風機的對風角，使得風機一直正對著風從而使風力發電機捕獲的風能最大，本文所考慮的隨機風載風向變化很小(<15°)，因此偏航控制的作用不大，在模型中不予考慮；發電機控制是當風速低于額定風速時控制發電機轉子的轉速，得到最佳尖速比從而最大化發電機功率，在風速高于額定風速時控制發電機的扭矩保持在一個恒定值，本文采用簡化的電機控制，假定發電機的扭矩與轉速的關系，如圖 3所示；槳距角控制是當風速高于額定風速時，根據發電機端的轉速或者功率調節葉輪的迎風角從而控制輸入風機的功率，防止輸入功率過大，本文采用PI增益控制算法[15]實現槳距角控制，控制框圖如圖 4所示。

圖3 發電機扭矩控制Fig.3 Generator’s torque control

圖4 槳距角控制框圖Fig.4 Diagram of wind turbine pitch control

1.2 整體仿真參數設置

在FAST風機整體仿真模型中，需要輸入的參數有：葉片參數、塔架參數以及傳動鏈參數[16]。本文根據國內某風電公司提供的1.5 MW風機的資料，風機的基本信息，如表 1所示。在應用實例仿真分析時使用的主要參數，如表 2所示。其中葉片和塔架參數包含了質量、轉動慣量和截面形狀等，沒有一一列出。

FAST軟件提供了Simulink的接口，本文將FAST軟件建立的整體仿真模型導入Simulink，并且在Simulink中實現風機的槳距角控制，風機整體仿真的Simulink模型，如圖 5所示。槳距角控制的PI參數，如表 3所示。

表1 風機的基本信息Tab.1 General description of the wind turbine

表2 風機整體仿真參數Tab.2 Parameters of wind turbine global analysis

表3 PI增益控制參數Tab.3 Parameters of PI gain scheduling control

本文采用NREL實驗室提供的TurbSim[17]根據Kaimal模型[18]生成隨機風載，在風輪平面采用20×20個網格點，步長為0.02 s，隨機風載模型采用正常湍流模型[19]，主要輸入參數是平均風速和湍流密度，在實例分析中平均風速采用11.5 m/s和18 m/s，湍流密度設為14%。

2 齒輪箱動力學仿真模型

風機整體仿真能夠得到齒輪箱在隨機風載下的輸入扭矩和輸出轉速，齒輪箱動力學仿真是將風機整體仿真得到齒輪箱輸入輸出條件作為齒輪箱動力學模型的邊界條件計算各級齒輪的轉速和動態嚙合力，為下一步計算各齒輪的疲勞損傷提供支撐。

圖5 風機整體仿真Simulink模型Fig.5 Simulink model of wind turbine global analysis

2.1 齒輪箱動力學仿真數學模型

在齒輪箱的動力學仿真模型中不考慮軸承和箱體的支撐剛度，也不考齒面誤差、裝配誤差等，并且每個齒輪只考慮沿著軸向的旋轉自由度，則行星輪系和平行輪系的動力學分析簡圖，如圖 6所示。對于本文實例應用所使用的齒輪箱，由兩級行星輪系和一級平行輪系(斜齒輪)組成，結構簡圖如圖 7所示。齒輪箱的整體動力學方程式可表達為式，根據已知的邊界條件Tin和θ4，可以通過數值積分的方法求解方程式進而計算各級齒輪的動態嚙合力和轉速。

(1)

式中：I1c和I2c為一級和二級行星架的轉動慣量；C1psi和C2psi為一級和二級太陽輪與第i個行星輪之間的嚙合阻尼；C1pri和C2pri為一級和二級齒圈與第i個行星輪之間的嚙合阻尼；K1psi和K2psi為一級和二級太陽輪與第i個行星輪之間的嚙合剛度；K1pri和K2pri為一級和二級齒圈與第i個行星輪之間的嚙合剛度；r1bc和r2bc為行星架的當量半徑；I1pi和I2pi為一級和二級行星輪系的第i個行星輪的轉動慣量；r1bpi和r2bpi為一級和二級行星輪系的第i個行星輪的基圓半徑；I1s和I2s為太陽輪的轉動慣量；θ1c和θ2c為一級和二級行星架的轉角；θ1pi和θ2pi為一級和二級行星輪系的第i個行星輪相對于行星架的轉角；θ1s和θ2s為太陽輪的轉角；x1psi和x2psi為一級和二級太陽輪與第i個行星輪沿嚙合線的相對位移(x1psi=r1bpiθ1pi-r1bsθ1s+r1bccosα1psiθ1c,x2psi=r2bpiθ2pi-r2bsθ2s+r2bccosα2psiθ2c)，x1pri和x2pri為一級和二級齒圈與第i個行星輪沿嚙合線的相對位移(x1pri=r1bpiθ1pi-r1bccosα1priθ1c,x2pri=r2bpiθ2pi-r2bccosα2priθ2c),I3為三級大齒輪的轉動慣量;I4為三級小齒輪的轉動慣量;C34為嚙合阻尼;K34為嚙合剛度;rb3為三級大齒輪的基圓半徑;rb4為三級小齒輪的基圓半徑;θ3為三級大齒輪的轉角;θ4為三級小齒輪的轉角;β為斜齒輪的螺旋角;x34為主動輪和被動輪沿嚙合線的相對位移(x34=(θ3rb3-θ4rb4)cosβ)，Tin為輸入轉矩;Tout為輸出轉矩。

圖6 齒輪箱行星輪系和平行輪系的動力學分析簡圖Fig.6 Dynamic analysis of planetary and parallel gear train

2.2 齒輪箱動力學參數設置

圖7 風電齒輪箱的結構簡圖Fig.7 Wind turbine gearbox’s schematic layout

圖8 ADAMS風電齒輪箱動力學仿真模型Fig.8 Wind turbine gearbox’s dynamic model in ADAMS

通過ADAMS動力學仿真，能夠計算風電齒輪箱的各個齒輪在隨機風載下的動態嚙合力和轉速，為下一部分計算各齒輪的疲勞損傷奠定基礎。

(2)

式中：x0為接觸體的半徑；x為變形后接觸面與物體中心的距離。

表4 齒輪參數Tab.4 Gears’ parameters

表5 各齒輪對Contact Force力元的參數Tab.5 Parameters of Contact Force element for every gear pairs

3 齒輪疲勞壽命計算模型

“2.2”節通過齒輪箱動力學計算得到了齒輪的動態嚙合力和轉速，本小節對得到的數據進行處理，計算各個齒輪的疲勞壽命。首先將隨時間連續變化的嚙合力轉化為載荷塊；然后根據國際標準ISO6336計算風電齒輪的S-N曲線參數；最后根據載荷塊和S-N曲線參數，利用線性損傷累計準則計算齒輪的疲勞損傷。本部分是在在整體動力學分析、齒輪箱動力學分析的基礎上根據線性損傷累計理論計算了各個齒輪的彎曲及接觸疲勞損傷，通過疲勞損傷的計算將隨機風載和各個齒輪的疲勞損傷聯系了起來。

3.1 載荷塊

為了計算齒輪的疲勞損傷，首先需要把隨時間連續變化的嚙合力轉化為載荷塊，轉化過程，如圖 10所示。假設隨時間變化的嚙合力在F1和F2之間有n個時間片段，則F1的作用次數可用式計算；得到嚙合力塊后，通過式[22]和式[23]計算齒輪的彎曲和接觸疲勞載荷塊。對于太陽輪和齒圈，齒輪嚙合時齒根彎曲應力和齒面接觸應力的變化都是0→σmax→0，換句話說，應力加載的循環應力比R=0；而對于行星輪，它是前齒面和后齒面都受載，因此在計算齒根彎曲疲勞時，彎曲應力的循環應力比為R=-1。因為總共有3個行星輪，因此計算時應將齒圈和太陽輪的循環次數乘以3。

圖9 ADAMS風電齒輪箱動力學仿真模型拓撲圖

Fig.9 Topology diagram of ADAMS’ gearbox dynamic model

(3)

式中：ni為載荷塊i的循環作用次數；tj為載荷塊i第j個時間片段；ωj為在時間片段j內齒輪的平均轉速(rad/s)。

(4)

式中：Ft為齒輪間的嚙合力；b為齒寬；mn為法面模數；YF為齒根圓角系數；YS為應力修正系數；Yβ為螺旋角系數；YB為輪轂厚度系數；YDT為重合度系數。

(5)

式中:d1為齒輪的分度圓直徑；u為齒輪的傳遞比;ZH為接觸系數，ZE為材料彈性系數,Zε為重合度系數，Zβ為螺旋角系數。

圖10 載荷塊轉化過程Fig.10 Process of creating force bins

3.2 S-N曲線

S-N曲線是聯系載荷塊和疲勞損傷的橋梁，是很重要的參數。本文主要利用齒輪的國際標準ISO 6336-2、ISO 6336-3、 ISO 6336-5[24]中的疲勞數據計算風電齒輪箱各齒輪接觸和彎曲疲勞的S-N曲線參數，具體的計算方法詳見以上各標準。在本文應用實例中的風電齒輪箱各齒輪的材料和熱處理，如表 6所示。計算出來的S-N曲線參數，如表 7所示(各齒輪有不同的S-N曲線參數)。為了更準確的計算疲勞損傷，本文使用了雙斜率S-N曲線，如圖 11所示。第二條直線的斜率為-1/(2m-1)；對于彎曲疲勞，N0=3×106；對于接觸疲勞，N0=5×107，詳見標準ISO 6336-2和ISO 6336-3中的相關數據。

表6 齒輪的材料和熱處理Tab.6 Gears’ material and heat treatment

3.3 疲勞損傷

在獲取了載荷塊和S-N曲線參數的基礎上，齒輪彎曲和接觸疲勞損傷通過線性損傷累積理論[25]計算出來，具體計算公式如下

(6)

式中：Nb為載荷塊的數量；ni為載荷塊i的循環作用次數;Nci為在載荷i作用下的極限循環次數;Dc為累積的疲勞損傷。

在本文的實例分析中，總共仿真時間是80 s，為了去除風機仿真模型在啟動時的不平穩性，仿真結構的前20 s被舍棄，只考慮后面60 s的結果。因為主軸的轉速比較低，60 s內轉的圈數少，因此本文在處理數據時假設一天內每一分鐘風速的變化相同，對齒輪造成的疲勞損傷也相同來計算齒輪箱各齒輪在一天內的疲勞損傷。

表7 齒輪彎曲和接觸疲勞S-N曲線參數Tab.7 Bending & pitting fatigue S-N parameters

圖11 雙斜率S-N曲線Fig.11 Two-slope S-N curve

4 應用實例與討論

前面3個小節詳細介紹了本文提出的風電齒輪箱在隨機載荷下的疲勞損傷計算模型，包括整體分析、動力學分析和疲勞損傷分析，通過3個步驟能夠計算任意風載下各個齒輪的疲勞損傷，能夠對風電齒輪箱的疲勞壽命有一個比較好的描述。

本節利用上面建立的風電齒輪箱疲勞損傷計算模型，計算國內某公司生產的1.5 MW風電齒輪箱的疲勞壽命，說明提出的風電齒輪箱在隨機風載下疲勞壽命計算模型的應用。本文利用NREL實驗室提供的TurbSim軟件生成隨機風載，當平均風速從5 m/s變化到20 m/s，湍流密度從9%變化到24%時，風機整體仿真得到的主軸功率的平均值和標準差，如圖 12所示。從圖12可知，當平均風速低于額定風速時，主軸功率在隨著平均風速的增加而增加，當平均風速高于額定風速時基本保持恒定，而主軸功率的標準差隨著湍流密度的增加而增加。主軸扭矩的平均值和標準差，如圖 13所示。趨勢基本和主軸功率相同。整體仿真結果隨風速變化的趨勢同文獻[26]中750 kW風機整體仿真結果的趨勢基本一致，表明整體仿真結果的正確性。

圖12 不同風況下的主軸功率的平均值和標準差Fig.12 Mean and standard deviation of rotor’s power

圖13 不同風況下的主軸扭矩的平均值和標準差Fig.13 Mean and standard deviation of rotor’s torque

從文獻[27]的數據可知平均風速等于及高于額定風速的風況對風電齒輪箱的損傷最大，因此本文選擇平均風速為11.5 m/s(額定風速)和18 m/s，湍流密度為14%的風況作為特定風況來研究1.5 MW風電齒輪箱的疲勞損傷。在這兩種特定風況下，一級太陽輪齒根彎曲應力的載荷塊分布，如圖 14所示。對于這兩種特定風況，載荷塊的分布基本相同，集中分布在215 MPa附近，但是平均風速為18 m/s的風況下載荷分布更加集中，這可能是發電機的控制造成的，從圖 3可知，在額定轉速附近，當轉速低于額定轉速時發電機的扭矩下降非?？欤瑥亩斐僧斊骄L速為額定風速11.5 m/s時，發電機扭矩的波動幅值較大，導致各個齒輪間的嚙合力變化范圍大，最終造成更加分散的載荷塊分布。

根據載荷塊的分布和各齒輪彎曲疲勞S-N曲線參數計算風電齒輪箱各齒輪的彎曲疲勞損傷，如圖 15和表 8所示。從彎曲疲勞損傷值的對比可以發現一級齒圈、二級齒圈和三級小齒輪是各級中最易發生彎曲疲勞的齒輪。第一級和第二級齒圈的彎曲疲勞損傷大是因為齒圈的材料比其他齒輪的材料稍差；而第三級小齒輪的疲勞損傷大是因為載荷循環作用的次數多。

同樣根據載荷塊和接觸疲勞S-N曲線參數計算各齒輪的接觸疲勞損傷，如圖 16和表 8所示。從計算結果可知一級太陽輪、二級太陽輪和三級小齒輪是各級中最易發生接觸疲勞的齒輪。第一級和第二級太陽輪的點蝕疲勞損傷大是因為接觸面的曲率小(曲率定義，如圖 17所示。)從而造成接觸應力大，并且太陽輪的載荷循環作用的次數比行星輪和齒圈多；而第三級小齒輪的點蝕疲勞損傷大主要是因為載荷的循環作用次數比大齒輪多。從圖中還可以知道，行星輪后齒面的點蝕疲勞損傷比前齒面的疲勞損傷小很多，這是因為后齒面和齒圈嚙合是內嚙合并且齒圈的曲率半徑大，造成后齒面的接觸應力小，從而導致接觸疲勞損傷小，因此在實際中可以只考慮行星輪前齒面的點蝕疲勞損傷。

表8 1天內各齒輪彎曲和接觸疲勞損傷值Tab.8 1-day tooth bending & flank pitting fatigue damage

(a)平均風速11．5m/s，湍流密度14%(b)平均風速18m/s，湍流密度14%

圖14 一級太陽輪齒根彎曲應力的載荷塊分布

Fig.14 Bending stress bins of the first stage sun gear

s1-一級太陽輪；p1-一級行星輪；r1-一級齒圈；s2-二級太陽輪；p2-二級行星輪；r2-二級齒圈；p3-三級小齒輪；g3-三級大齒輪

圖15 1天內各齒輪彎曲疲勞損傷值

Fig.15 1-day gear tooth bending fatigue damage

s1-一級太陽輪；ps1-一級行星輪與太陽輪嚙合齒面；r1-一級齒圈；pr1-一級行星輪與齒圈嚙合齒面；s2-二級太陽輪；ps2-二級行星輪與太陽輪嚙合齒面；r2-二級齒圈；pr2-二級行星輪與齒圈嚙合齒面；p3-三級小齒輪；g3-三級大齒輪

圖16 1天內各齒輪接觸疲勞損傷值

Fig.16 1-day gear tooth pitting fatigue damage

圖17 節圓處齒面曲率的定義Fig.17 Definition of radius of relative curvature at the pitch surface

5 結 論

本文建立了計算風電齒輪箱在隨機風載下的疲勞壽命的模型，并且通過一個1.5 MW風機齒輪箱的實例說明了模型的計算過程和參數設置，最后根據平均風速11.5 m/s和18 m/s，湍流密度為14%風載下的計算結果找到了各級齒輪中最易發生彎曲疲勞和點蝕疲勞的齒輪：一級齒圈、二級齒圈和三級小齒輪最易發生彎曲疲勞，一級太陽輪、二級太陽輪和三級小齒輪最易發生點蝕疲勞。這對于齒輪箱排錯和改善齒輪箱的設計都有很重要的指導意義。

致謝

本論文受到中國國家自然科學基金的支持，項目編號：51475263，項目名稱：高動載、大傳動比風電增速箱能量空間分布特性及其對疲勞裂紋擴展的影響規律，特此感謝。

參 考 文 獻

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