高階DMCKF的BDS/GPS精密單點定位算法*

張兆龍，王躍鋼，騰紅磊，張復建，劉海洋

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

0 引言

傳統的單星座導航定位系統可見星的數量受環境影響較大，定位的穩定性較差，且由于權限問題，可靠性同樣得不到保證。為提高定位精度，將多星座系統組合定位是現在的研究熱點，組合定位可以極大地增加可見衛星的數量，提高衛星系統的可靠性以及定位精度。

定位算法是影響組合系統定位精度的關鍵因素之一[1]。當系統方程線性化時，傳統的濾波方法是最小二乘法和卡爾曼濾波；當系統方程非線性時，常用的方法是擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)、容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)等[2-3]，而航空重力測量的系統量測方程為非線性。非線性濾波算法中EKF濾波時容易發散，精度較低，而且需要計算雅克比矩陣，計算量較大[4]。UKF克服了EKF的缺點，將非線性函數近似轉換為后驗密度函數，濾波效果較EKF有顯著的提高，但當系統維數過高時，其濾波效果容易受參數設定的影響，濾波效果不佳，甚至會出現濾波發散[5-6]。CKF實現過程簡單，逼近效果好，濾波穩定性和精度較UKF好，得到了廣泛的應用[7]。

標準CKF濾波算法采用三階濾波方法，估計精度有限，為提高估計性能，通過高階球面相徑容積規則，建立了高階容積卡爾曼濾波算法(high-degree cubature Kalman filter,HCKF)[8-11]〗。標準 HCKF濾波算法由于計算誤差和舍入誤差、模型失準等原因，協方差矩陣容易失去正定性，導致濾波中斷[12]。針對BDS/GPS組合定位系統，本文在標準高階CKF的基礎上，引入矩陣對角化變換，提出一種基于矩陣對角變換的高階CKF(高階DMCKF)，通過實驗，證明該算法可以提高濾波精度，具有更優的估計精度，可以進一步提高定位精度和穩定性。

1 BDS/GPS組合精密單點定位的數學模型

精密單點定位中常用的數學模型有差分和非差分2種。與非差分模型相比，差分模型減少了未知數的個數以及估計收斂時間，但由于觀測值之間存在相關性，增加了濾波難度。非差分模型具有可以保留所有的觀測信息，觀測值之間不相關，測站之間無距離限制等優點，所以本文采用非差分模型。

1.1 系統觀測方程

相位偽距半和改正法是常用的一種非差分模型，其基本原理是：利用載波相位觀測值和偽距觀測值受到的電離層延遲誤差大小相等、符號相反的特點，通過載波相位和偽距的線性組合，在消除了電離層低階項影響的基礎上降低了組合觀測值的噪聲水平，且收斂速度快，對提高定位精度起到了一定的作用。BDS/GPS組合系統的相位偽距半和改正模型如下[13-14]：

(1)

PG=ρG+c(dtrG-dtsG)+IG+TG+

(2)

(3)

PB=ρB+c(dtrB-dtsB)+IB+TB+

(4)

式中：G為GPS衛星；B為BDS衛星；LΦP為偽距和相位的半和；L為載波相位觀測值；P為偽距觀測值；ρ為衛星與接收機之間的距離；dtr為接收機鐘差；dts為衛星鐘差；c為電磁波在真空中的傳播速度；T為對流層延遲誤差；I為電離層延遲誤差；δρmul為多路徑誤差；δρrel為相對論效應誤差；λ為載波的波長；N為整周模糊度；εP和εL分別為偽距和載波相位的觀測噪聲以及未模型化的誤差。

對各部分誤差進行處理[15]：衛星鐘差用精密鐘差文件補償；利用廣義相對論模型修正相對論效應誤差；利用半參數法修正多路徑效應誤差；利用TSE模型改正電離層延遲誤差；對流層延遲誤差利用干分量模型計算，濕分量參數估計的方法消除；衛星位置通過精密星歷文件計算得到。經過誤差處理及計算后，得到系統最終的觀測方程為

(5)

cdtrG+M·Z+εPG,

(6)

(7)

cdtrB+M·Z+εPB,

(8)

1.2 系統狀態方程

系統的狀態方程為

xk=φk|k-1xk-1+ωk-1.

(9)

式(9)中，狀態轉移矩陣φ為

(10)

式中：I為單位陣；靜態試驗時：A=03×3，B=03×3，C=(1,0;0,0)；動態試驗時：A=TsI3×3，B=I3×3，C=(1,Ts;0,1)，Ts為采樣時間間隔。

系統的待估計狀態向量有：接收機三維位置、三維速度(在靜態條件下約束為0)、BDS和GPS系統的接收機鐘差、對流層延遲濕分量、整周模糊度，即

x=(xs,ys,zs,vx,vy,vz,dtrG,dtrB,Z,N).

(11)

觀測量為

2 基于矩陣對角化變換的高階CKF

在濾波過程中，協方差矩陣非正定時會引起濾波中斷問題，而基于矩陣對角化變換的方法不要求協方差矩陣正定，增加了濾波的穩定性。并且由矩陣對角化變換方法獲得的協方差矩陣的平方根矩陣，保留了協方差矩陣原有的特征空間信息，從而提高了濾波的精度。

2.1 矩陣對角化變換

協方差矩陣P為實對稱矩陣，由正交定理可得P=VTDV，其中D是以P的n個特征值為對角元素的對角陣，V為n個特征值所對應的兩兩正交的特征向量構成的正交矩陣。令

(12)

則有

(13)

由式(13)易知,S為實對稱矩陣，則P=SST。

2.2 高階DMCKF算法

組合系統的觀測方程為非線性，狀態方程為線性，假設系統方程如下：

(14)

第1步：時間更新

(15)

(16)

(2) 更新一步狀態預測值

(17)

(3) 更新一步預測誤差協方差

(18)

第2步：量測更新

(1) 計算容積點：

(19)

(20)

(2) 更新量測方程傳播容積點

(21)

(3) 更新量測預測值

(22)

(4) 更新預測輸出協方差

(23)

(5) 更新互協方差

(24)

(6) 更新卡爾曼濾波增益

(25)

(7) 更新預測狀態值

(26)

(8) 更新誤差協方差陣

(27)

式中:eig()表示特征值分解;NP為積分點總數;ωi與εi分別為權值和積分點。

3 仿真試驗

通過靜態和動態實驗驗證本文算法的有效性和可行性。GPS和BDS精密星歷和精密鐘差數據分別來自IGS網站和中科院測地所，分別間隔5 min和15 min更新一次。

3.1 靜態試驗

為驗證本文算法應用于靜態BDS/GPS組合系統精密單點定位的效果，對中國BJFS站2016年8月14日的觀測數據進行定位解算，采樣時間為30 s/次，衛星截止高度角為15°。對BDS/GPS組合系統分別應用UKF,CKF,高階DMCKF進行解算，結果如圖1～3所示。

對比3種方法解算出的靜態位置誤差曲線，可以看出，高階DMCKF算法較UKF、CKF不僅在定位精度上有所提高，而且在收斂速度上也有很大的改善。UKF算法由于受到參數設置的影響，濾波結果收斂性較差，位置誤差較大。標準CKF算法由于計算誤差和舍入誤差的影響，估計精度有限，且容易發生濾波中斷問題。高階DMCKF算法由于引入了矩陣對角化變換，定位精度和穩定性得到了提高。

分別對靜態條件下3種方法的位置解算結果進行統計，結果如表1所示。

表1 靜態條件下3種方法定位性能比較Table 1 Comparison on positioning performances of the three methods in static posotion

分析表1，在定位精度上，高階DMCKF較UKF算法在x,y,z方向上的改善率分別為63.0%,63.5%,68.6%，較標準CKF算法綜在x,y,z方向上的改善率分別為33.3%,34.1%,52.9%。綜上可得，高階DMCKF算法在靜態條件下，能夠提高定位解算精度和定位穩定性。

3.2 動態試驗

為驗證本文算法應用于動態BDS/GPS組合系統精密單點定位的性能，進行動態實驗。將接收機固定在跑車上，開展跑車實驗，跑車運動時間為2 h，數據采樣時間間隔為1 s，衛星截止高度角為15°。對接收機接收到的數據分別應用UKF,CKF,高階DMCKF進行定位解算，參考定位坐標由RTK系統的載波相位差分定位技術獲得，精度可達1～2 cm。解算結果如圖4～6所示。

與靜態條件相比，動態條件下接收機的運動狀態更加復雜，在實際的測量過程中，運動狀態往往是未知的，對參數估計模型和算法的要求更高。對比3種方法解算出的動態位置誤差曲線，可以看出，高階DMCKF算法較UKF,CKF在定位性能方面有很大的提高。UKF算法定位結果的收斂性差，位置誤差較大，標準CKF定位精度較UKF算法有所提高，高階DMCKF算法在穩定性和定位精度上較前兩種算法都有所改善。

為更加直觀地比較3種算法的定位性能，對收斂后的位置解算結果誤差進行了統計，結果如表2所示。

分析表2，在定位精度上，高階DMCKF較UKF算法在x,y,z方向上的改善率分別為66.8%,67.4%,51.1%，較標準CKF算法綜在x,y,z方向上的改善率分別為56.5%,38.6%,32.6%。綜上可得，在動態條件下，利用高階DMCKF算法進行定位能得到更好的效果。

解算方法x/m(RMS)y/m(RMS)z/m(RMS)UKF0.3040.4780.513CKF0.2320.2540.298高階DMCKF0.1010.1560.201較UKF改善率(%)66.867.451.1較CKF改善率(%)56.538.632.6

4 結束語

將矩陣對角化變換與高階CKF結合，使得濾波過程中的平方根矩陣保留了原有的空間信息，在提高濾波精度的基礎上進一步提高了定位精度。同時，改善了濾波的收斂時間，增強了穩定性。實驗證明，高階DMCKF算法可有效改善BDS/GPS組合導航定位系統的定位精度。

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