彈載小衛(wèi)星應急發(fā)射入軌方法設計與優(yōu)化*

馬特,劉剛,何兵

(火箭軍工程大學 空間工程系,陜西 西安 710025)

0 引言

現(xiàn)代小衛(wèi)星發(fā)源于20世紀80年代，是通信技術、測控技術、遙測技術以及小衛(wèi)星的管理等相關關鍵技術大力發(fā)展的基礎上涌現(xiàn)的產(chǎn)物。現(xiàn)代小衛(wèi)星采用創(chuàng)新概念設計，在大型衛(wèi)星涉及領域廣、技術復雜、研制周期較長、成本過高的背景下，小衛(wèi)星因其“新、快、靈、省”的特點以及其巨大的發(fā)展?jié)撃埽霈F(xiàn)井噴的態(tài)勢。隨著小衛(wèi)星的蓬勃發(fā)展和廣泛應用，小衛(wèi)星的各項關鍵技術已經(jīng)成為航天裝備和空間應用領域關鍵技術的重要組成部分，其中小衛(wèi)星發(fā)射技術則引起各個國家的廣泛關注。

小衛(wèi)星發(fā)射方法可以分別為兩大類[1]。一是采用專用小型運載火箭發(fā)射；二是利用大型運載火箭搭載發(fā)射。后者發(fā)射周期長，發(fā)射點固定，不利于實現(xiàn)需要機動靈活的應急發(fā)射任務。而利用現(xiàn)有型號導彈經(jīng)過改裝成為衛(wèi)星發(fā)射不但可以節(jié)省衛(wèi)星發(fā)射運載器的研制周期和經(jīng)費，同時還可做到機動發(fā)射、應急組網(wǎng)。

目前，世界各國都對小衛(wèi)星機動發(fā)射技術有所突破。例如，美國利用退役的“民兵-2”固體導彈一、二級和“飛馬座-KL”火箭末修級改造成的“人牛怪”運載火箭[2]，能把340 kg的有效載荷送入740 km的太陽同步軌道，并可較其他火箭節(jié)省30%的發(fā)射費用；同時俄羅斯也將RS-18導彈和SS-25導彈改造成為呼嘯號運載火箭[3]和起飛1號運載火箭[4]用于衛(wèi)星發(fā)射。

本文研究的對象是彈載小衛(wèi)星機動發(fā)射彈道設計與優(yōu)化。以經(jīng)典型號彈道導彈為例，通過改造導彈的末修艙，加裝高集成緊耦合微衛(wèi)星，在傳統(tǒng)彈道導彈動力學模型的基礎上，設計導彈飛行程序，最終實現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)射入軌。

1 基礎力學模型

1.1 地球引力

地球引力場為有勢力場[5]，地球外質(zhì)點引力位函數(shù)為

(1)

式中:fM為引力常數(shù)地球;m和r分別為質(zhì)量和質(zhì)點到地心距離。

于是，引力加速度為

(2)

1.2 發(fā)動機推力

火箭發(fā)送機雖有液體固體之分，但其產(chǎn)生機理相同，所以其基本推力計算公式相同。在不考慮控制的情況下，彈體系Ozy1和Ozz1軸方向的推力可以直接去零，由于存在大氣靜壓力，而發(fā)動機噴口上沒有大氣靜壓力，在燃氣靜壓力和大氣靜壓力的共同作用下，發(fā)動機推力[6]為

(3)

1.3 空氣動力

對于高速飛行的導彈來說，其空氣動力的產(chǎn)生機理與飛機機翼升力產(chǎn)生機理完全一樣，與導彈的外部形狀、姿態(tài)、速度、空氣密度和飛行高度有關。只是作用在導彈的空氣動力[7]是空間中的一個向量。其表達式為

R=CRqSm，

(4)

1.4 柯氏慣性力和牽連慣性力

柯氏慣性力[8]和牽連慣性力[9]是由于坐標系旋轉產(chǎn)生，對導彈的作用力也很小。

柯氏慣性力在發(fā)射坐標系下的分量為

(5)

式中:Fcx，F(xiàn)cy，F(xiàn)cz為柯氏慣性力在發(fā)射系下分量；m為導彈實時質(zhì)量；acx，acy，acz為柯氏慣性力產(chǎn)生的加速度。

(6)

(7)

牽連慣性力在發(fā)射坐標系下的分量為

(8)

式中：Fex，F(xiàn)ey，F(xiàn)ez為牽連慣性力在發(fā)射系下分量；aex，aey，aez為牽連慣性力產(chǎn)生的加速度。

(9)

(10)

2 彈載小衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化模型

以經(jīng)典型號彈道導彈為例，小衛(wèi)星發(fā)射彈道包括一級飛行段、二級飛行段和自由段，達到目標軌道后，利用末修級發(fā)動機施加推力最終達到入軌條件，在飛行過程中，導彈按標準彈道飛行，其姿態(tài)角根據(jù)優(yōu)化的飛行程序角變化。

2.1 導彈飛行程序設計

(1) 一級飛行程序

導彈一級飛行程序又可以分為垂直上升、程序轉彎、跨聲速飛行和一級分離4段[10]。由于導彈一級飛行處于稠密的大氣層中，而且要經(jīng)歷跨音速等復雜情況。一般對一級飛行不做太大改動。一級飛行程序如下：

(11)

式中：

(12)

t1為導彈垂直上升段的時間；t2為程序轉彎結束的時刻；t3為跨聲速飛行段飛行結束的時刻；tk1為一級結束時刻；α為二級飛行攻角，其中α和a控制彈道的轉彎速率；θ為彈道傾角。

(2) 二級飛行程序

本文中的二級飛行開始段已經(jīng)飛至臨近空間中上層，空氣產(chǎn)生的阻力相對一級要小，控制也比一級容易，所以主要優(yōu)化參數(shù)也都在二級段。將二級飛行分段線性化設計，具體如下：

(13)

(3) 自由段飛行程序

自由段飛行導彈已經(jīng)飛出大氣層，彈體處于無控制飛行狀態(tài)，直至導彈達到目標軌道以及運動狀態(tài)要求，末修發(fā)動機點火，最終完成小衛(wèi)星入軌任務。在此過程中，飛行程序角保持不變。

φcx(t)=φcx5，tk2

(14)

式中：φcx5為導彈二級飛行結束時的飛行程序角；tk3為自由段結束時刻即末修級點火時刻。

而后在末修級點火時刻tk3即彈道最高點，末修級點火實現(xiàn)微衛(wèi)星增速入軌。

2.2 約束條件

衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化的約束條件包含微分方程約束、路徑約束和自由端結束狀態(tài)約束等。

路徑約束包括動壓約束[11]和過載約束[12]等。具體表示如下：

(15)

式中：的q和ny分別為動壓和過載；qmax和nymax分別為動壓約束最大值和法向過載約束最大值。

自由段結束狀態(tài)約束即末修級點火時刻約束，指的是末修級點火時衛(wèi)星及末修級的位置與速度狀態(tài)約束。形式如下：

(16)

式中：Θtk3為tk3時刻即末修級點火時刻導彈的當?shù)貜椀纼A角；Θmax為當?shù)貜椀纼A角的限定值；Htk3為tk3的軌道高度；Htar為目標軌道的軌道高度；Dev為軌道高度偏差限定值。

2.3 優(yōu)化變量設計

本文研究的是利用經(jīng)典型號的導彈改裝后搭載發(fā)射小型衛(wèi)星的彈道優(yōu)化問題，整體設計彈道時需要優(yōu)化的變量多，直接得到滿足所有內(nèi)點約束的全局最優(yōu)解難度較大，因此合理的設計目標函數(shù)至關重要，本文對目標函數(shù)的設計主要包括以下幾步：

由2.1節(jié)分析可得，衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化的變量為

X= (x1,x2,x3,x4,x5,x6)T=

(17)

式中：x1，x2對應的是一級飛行程序轉彎控制參數(shù)；x3，x4，x5，x6對應的是二級飛行轉彎控制參數(shù)。

2.4 目標函數(shù)的設計

選擇末修級發(fā)動機點火時刻的速度vf作為發(fā)射彈道優(yōu)化的目標函數(shù)，即

F(X)=min{1/vf(X)}.

(18)

3 優(yōu)化算法設計

遺傳算法(genetic algorithms，GA)是一種基于基因遺傳機制和自然選擇的尋優(yōu)算法[13]，其具體步驟包括：初代群體確立、求解適應度、依照適者生存原則和一定概率選擇優(yōu)良個體、在優(yōu)良個體中隨機交叉和變異后生成下一代群體，按照此法，群體逐代進化直至達到適應度要求或者滿足進化代數(shù)要求便終止。

該算法的基本步驟如下：

(1) 種群初始化

(2) 適應度評價

運行彈道程序，計算各個種群的適應度值，使用輪盤賭法作為選擇算子對這些個體進行排序篩選。

(3) 交叉

用A，B和A′，B′分別代表父代和子代的個體，運用下列方法進行交叉操作：

(19)

如果A′(B′)R，則A′(B′)=R。

(4) 變異過程

用C和C′分別表示父代和子代的個體，γ為(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)，k∈[0,1]為變異系數(shù)，U(0,1)為隨機產(chǎn)生的整數(shù)0或1。

(5) 生成新一代種群

若滿足迭代次數(shù)要求便輸出最優(yōu)解，否則繼續(xù)上面的操作。

該算法的優(yōu)化流程如圖1所示。

4 仿真計算與結果分析

以經(jīng)典型號導彈為例，利用遺傳算法研究小衛(wèi)星發(fā)射彈道優(yōu)化設計問題。

(1) 參數(shù)設置

取發(fā)射點的大地經(jīng)度Lf等于110.27°，取發(fā)射點的大地經(jīng)度Bf等于33.04°，發(fā)射點高程為500 m；發(fā)射方位角10.425 8°。目標軌道定位450 km，當?shù)貜椀纼A角限定值Θmax為1°。種群規(guī)模取40，進化代數(shù)取100，交叉概率取0.6，變異概率取0.01。

(2) 結果分析

給定后話變量的取值范圍即滿足其控制約束和過載約束，基于遺傳算法進行彈道優(yōu)化，最終得到優(yōu)化變量的準最優(yōu)結果，如表1所示。

表1 優(yōu)化變量的結果

地心大地直角坐標系下衛(wèi)星發(fā)射導彈彈道如圖2所示。導彈飛行的高度隨時間變化曲線如圖3所示。導彈當?shù)貜椀纼A角隨時間變化曲線如圖4所示。飛行程序角隨時間變化曲線如圖5所示。導彈速度隨時間變化曲線如圖6所示。仿真100代其適應度函數(shù)收斂曲線如圖7所示。

由圖1所示彈載衛(wèi)星發(fā)射的軌道。由圖7可見其適應度收斂曲線，遺傳算法平均耗時2 782 s，搜索時間較快。

由圖5所示彈載衛(wèi)星發(fā)射的主動段的程序角。與傳統(tǒng)的彈道導彈的主動段程序角[14]相比轉彎速率更快，但并沒有很大的差別而且滿足其過載約束，進一步論證了將現(xiàn)有彈道導彈改裝成為衛(wèi)星發(fā)射運載器的可行性。

由圖3,4,6可見，導彈的飛行的姿態(tài)和速度隨時間變化而變化，主動段按照優(yōu)化結果程序轉彎，在主動段結束時達到速度最大值，而后進入自由段飛行，軌道高度不斷增高，自由段開始當?shù)貜椀纼A角隨速度和位置變化而變化，本文優(yōu)化目標為當?shù)貜椀纼A角為零時的速度最大即當?shù)貜椀纼A角為0時的速度最大。案例現(xiàn)實當?shù)貜椀纼A角為0時速度達到6 000多m/s，處于臨界入軌狀態(tài)，而后末修發(fā)動機點火補充差速度，差速度計算方法由文獻[15]提供，最終將小衛(wèi)星推達入軌條件。

如圖8所示，設定不同目標軌道高度下的末速度，隨著目標軌道高度的不同能夠達到的末速度也不同，在目標軌道高度設置為300～400 km時末速度為5 400 m/s左右；在目標軌道450 km左右達到末速度最大值6 100 m/s 左右，而后末速度隨目標軌道的高度變高而變小。

5 結論

本文針對彈載入軌小衛(wèi)星的彈道優(yōu)化計問題，主要工作和研究結論如下：

(1) 本文建立了利用彈道導彈改裝后發(fā)射小衛(wèi)星的彈道優(yōu)化模型。基于彈道優(yōu)化模型，本文設計了衛(wèi)星發(fā)射的彈道飛行程序。

(2) 在多約束、多階段彈道飛行程序的基礎上，以衛(wèi)星能夠精確入軌作為目標，利用遺傳算法對模型進行求解，得出路徑約束和末端約束下的優(yōu)化變量最優(yōu)解。

(3) 根據(jù)優(yōu)化變量最優(yōu)解，仿真得出衛(wèi)星發(fā)射的發(fā)射軌道以及衛(wèi)星入軌后的空間軌道。

(4) 本文論證了將末型號廢舊導彈加裝小衛(wèi)星和末修級能夠發(fā)射衛(wèi)星的可行性，并提出彈載衛(wèi)星發(fā)射的基礎方案。

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