GMRES在電力系統潮流計算中的應用研究

高成

摘要：本文闡述一種基于matlab的GMRES實現方法，主要針對于大規模跨區域電力系統分析中潮流計算的修正方程，在求解這個高維數超稀疏的線性方程組中避免了采用直接法進行求解，滿足大型電力系統潮流計算的需要。該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交化基 和系數矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求解 向量，結合重啟動技術，極大地提高計算的效率和收斂性。該方法具有算法穩定、簡單及通用性強等特點，能夠為后續電力工作者應用于潮流計算和電力系統分析中進一步擴展應用。算例結果驗證文中實現的正確性和有效性。

關鍵詞：Matlab GMRES方法 潮流計算 修正方程 大型稀疏線性方程組

引言

所謂電力系統潮流，是指系統中所有運行參數的總體，包括各個母線電壓的大小和相位、各個發電機和負荷的功率及電流，以及各個變壓器和線路等元件所通過的功率、電流和其損耗。潮流問題是電力系統分析的基礎和核心。隨著我國經濟的發展，電力工業發展很快，而且向著大電網、智能化的方向發展，根據我國制定“西電東送、南北互供、全國聯網”的戰略構想，已基本上實現除西藏、新疆、海南、臺灣外全國聯網。

Krylov子空間法是二十世紀十大算法之一，具有存儲量少，計算量小且易于并行等優點，非常適合并行求解高維稀疏線性方程組。根據不同的極小化方法Krylov子空間法主要有CG（Conjugate Gradient）法、MINRES（Minimal Residual）法、GMRES 法（Generalised Minimal Residual）、BiCG 法（Bi-Conjugate Gradient）、CGS法（Conjugate Gradient Squared）。其中，GMRES適合于求解大型非對稱線性方程組，結合預條件處理技術的GMRES法具有良好的收斂特性和較高的數值穩定性，同時采用重啟動技術可以有效的降低對內存占有的需求。

本文基于matlab對GMRES方法進行研究實現，并將其應用在牛頓拉夫遜法潮流計算的修正方程中，對于求解修正方程的要求可以歸納如下：①計算方法的可靠性和收斂性；②計算結果的精度；③對計算機內存量的要求。該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交基 和系數矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求得 向量，結合重啟動技術，極大地提高計算的效率和收斂性。

1 GMRES原理

GMRES是求解高維稀疏線性代數方程組有效的迭代方法，早在上世紀五、六十年代提出，但是當時及以后的一段時間卻很少運用于實際工程計算中，近年來才引起學者和工程師們的廣泛關注和研究。

1.1 基于Krylov子空間的GMRES（m）

對于電力系統潮流計算的修正方程可以寫成公式1的形式，其中 的階數是 ，當電力系統的節點數 很大時，公式1將是一個高階稀疏線性代數方程組。

公式1

設初值為 ，則初始殘量為 ，根據其投影原理可以尋找 使殘量 最小，通過Arnoldi過程構造Krylov子空間 ，生成單位正交化基 和系數矩陣 ，求解步驟如下：

其中，由于GMRES迭代次數太多，會占用大量的存儲空間，往往需要加入重啟動過程，超過最大迭代次數m，則進行重啟動過程，進入算法步驟14重新計算。

1.2 最小二乘問題

其第i行、i+1行和第i列、i+1列的4個元素為旋轉因子，定義為：

2 GMRES實現方法

2 數據驗證

為了驗證本文GMRES算法的有效性，采用IEEE118節點系統進行潮流計算驗證，通過實例運行和MATLAB軟件中的gmres軟件包進行比較，并進行多次運算，其中，仿真中取容許誤差為 ，重啟動 ，為了方便對比，計算機和潮流計算程序的其他參數是一樣的，本實驗采用Intel i5-2320處理器3.00GHz主頻，2.91GB，2.99Hz的內存，采用牛頓拉夫遜法進行潮流計算，結果證明本文算法更加適用于電力系統的潮流計算。

3 總結

本文從大規?？鐓^域電力系統分析中潮流計算中修正方程求解的實際問題出發，針對在求解這個高維數超稀疏的線性方程組中傳統方法比較困難，對計算機配置要求較高，闡述一種基于matlab的GMRES實現方法，該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交化基 和系數矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求解 向量，結合重啟動技術，極大地提高計算的效率和收斂性。結合IEEE118節點算例驗證，

該方法具有算法穩定、簡單及通用性強等特點，能夠為后續電力工作者直接應用于潮流計算和電力系統分析中。

參考文獻

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作者簡介：高 成（1988-），男，通信作者，四川樂山人，碩士，主要從事電力系統分析研究。

（作者單位：國網樂山供電公司）