函數綜合題的解題策略

邵紅

所謂函數綜合題，就是以函數知識為主體，同時還涉及到其他數學知識，而且要綜合運用多種數學方法來進行求解的一類問題，具有一定的難度.大家知道，數學解題，必須講究方法.方法得當，事半功倍；方法不當，半途而廢.那么解答函數綜合題，同學們必須掌握哪些基本的方法與技巧呢？

一、善于換元，化繁為簡

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來；或者把條件與結論聯系起來；或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化.函數綜合題中，往往可以經過換元將復雜的復合函數轉化為簡單的初等函數.

例1 （1）已知x∈（0，+∞）時，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，則m的取值范圍是 .

（2）對于函數f（x）=4x-m·2x+1，若存在實數x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則實數m的取值范圍是 .

解析：（1）令t=3x（t>1），則由已知得函數f（t）=t2-mt+m+1的圖象在t∈（1，+∞）上恒在x軸的上方，則對于方程f（t）=0有

Δ=（-m）2-4（m+1）<0或Δ≥0，

m2≤1，

f（1）=1-m+m+1≥0，解得m<2+22.

（2）若存在實數x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，

即4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1，

所以14x0+4x0=2m·（12x0+2x0），

令t=2x0（t>0），則1t2+t2=2m（1t+t），令λ=1t+t（λ≥2），所以2m=λ-2λ，

令g（λ）=λ-2λ（λ≥2），易知g（λ）在區間[2，+∞）上單調遞增，所以2m≥2-22=1，故m≥12.

評注：本例第（1）小題，經過換元轉化為我們熟知的二次函數問題.而本例第（2）小題經過兩次換元，將原本復雜的函數問題轉化為簡單函數g（λ）的最值問題.換元法的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是通過換元變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化.

二、適當配方，巧中取勝

配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全……