函數(shù)的最值求法探究

冒建生

函數(shù)的最值主要考查兩個(gè)方面的問題：一是求解函數(shù)在區(qū)間上的最值；二是函數(shù)最值的綜合應(yīng)用，如實(shí)際應(yīng)用題中最優(yōu)解、不等式的恒成立問題及數(shù)列、解析幾何中的最值問題等.

高考對求函數(shù)最值（最大值、最小值）的考查一直饒有興趣，原因是求函數(shù)最值往往需要探求函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、周期性等，也需要調(diào)動各種數(shù)學(xué)的基本思想和方法，如配方法、換元法、數(shù)形結(jié)合法等.

一、單調(diào)性法

先確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值.如何確定函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法是主選（見方法五），但不唯一.

例1 （1）若函數(shù)f（x）滿足對于一切正數(shù)t，均有f（x+t）>f（x），且f（2x）=2f（x），f（1）=1，則函數(shù)f（x）在[1，22016]上的最大值是 .

解：由對一切正數(shù)t均有f（x+t）>f（x），知函數(shù)是R上的增函數(shù)，

故x=22016時(shí)，f（x）取最大值.

f（22016）=2f（22015）=22f（22014）=…=22016f（1）=22016.

評注：函數(shù)的單調(diào)性有以下幾種不同的表現(xiàn)形式，如f（x）是區(qū)間[a，b]的增函數(shù)

對于任意x1，x2∈[a，b]，x1

對于任意x1，x2∈[a，b]，f（x2）-f（x1）x2-x1>0；

對于一切正數(shù)t>0及x+t，x∈[a，b]，均有f（x+t）>f（x）；

有時(shí)也可用對于一切正數(shù)t>1及tx，x∈[a，b]，均有f（tx）>f（x）（注：追加條件：a>0）.

理解以上幾種不同的單調(diào)性呈現(xiàn)形式，有利于牢固掌握函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì).

（2）已知函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，均有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，f（1）=-23，則函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最小值是 .

解：設(shè)x1

所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）.

據(jù)條件，由x2-x1>0知f（x2-x1）<0，

從而f（x2）-f（x1）<0即f（x2）

所以函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，x=3時(shí)函數(shù)取最小值f（3）.

f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）

=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1）

=3×（-23）=-2.

評注：利用函數(shù)的抽象性質(zhì)，證明函數(shù)具有單調(diào)性，這樣的問題具有一定的難度.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)抽象關(guān)系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過對f（x2）的變形，構(gòu)造f（x2）-f（x1），再通過函數(shù)的條件判定其值的符號.盡管抽象函數(shù)是高考的“冷點(diǎn)”，但恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練不失為加深……