帶電粒子沿“漸開線”的運動

袁 平 李忠相 欒 麗

(重慶市第一中學校,重慶 400030)

帶電粒子在勻強磁場中的運動,多次在高考和競賽問題中出現．在備考過程中,已經總結出一系列經典情形:若粒子初速度與磁場方向平行,粒子做勻速直線運動;若粒子初速度與磁場方向垂直,粒子做勻速圓周運動;若粒子初速度與磁場方向有一定夾角,粒子做等距螺旋運動;若粒子初速度與磁場方向有一定夾角,且受到另一個沿磁場方向的恒力,粒子做不等距螺旋運動;若粒子初速度與磁場方向垂直,且受到另一個垂直于磁場方向的恒力,粒子沿滾輪線運動……

若粒子初速度與磁場方向垂直,且受到一個大小恒定但方向始終與速度方向相反的阻力,粒子又怎樣運動呢?

圖1 軌跡分析圖

例題.如圖1所示,在垂直于紙平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中,有一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子以初速度v1從A1點出發,若運動過程中在紙平面內受到一個大小恒定為f、方向始終與速度方向相反的阻力．不計重力,粒子的運動規律如何?

易知,帶電粒子的速度大小不受洛倫茲力影響,只在恒定大小的阻力f作用下均勻減小,其加速度大小記為a,顯然

(1)

同時,帶電粒子在洛倫茲力作用下,速度方向不斷變化,當粒子速度為v時,其軌跡曲率半徑為

(2)

可見,曲率半徑受速度大小影響,亦均勻減小．至此,我們可以大致確定軌跡的形狀．

為了定量研究粒子的軌跡,不妨取一系列極小連續相等的時間間隔Δt,經過第一個Δt后,粒子到達A2處,速度大小記為v2,軌跡曲率半徑由r1變為r2,則速度和曲率半徑的減小量分別為

Δv=v1-v2=aΔt.

(3)

(4)

相應地,軌跡的曲率圓心從O1點換至O2點,O1A1和O2A2之間的夾角為

(5)

如果把O1和O2之間用一小段圓弧連起來,則該段圓弧對應的圓心角也為Δθ,該段圓弧的弧長和曲率半徑分別為

Δs=Δr.

(6)

(7)

由以上各式聯立,可得

(8)

圖2 漸開線

這表明,O1、O2之間的小段圓弧的曲率半徑是一個與粒子速度無關的定值．那么,接下來相同時間間隔確定的O3、O4……之間連起來的小段圓弧具有相同的曲率半徑,即O1、O2、O3……等所有軌跡瞬時中心構成一半徑為R的圓?。瑫r由(6)式可知,軌跡曲率半徑r的減少等于軌跡瞬時中心O在圓弧上的移過路程．

上述軌跡,實際上就是著名的“漸開線”．如圖2,一段長為r1的不可伸長的繩子,一端系在半徑為R的固定圓柱的邊緣O1點,另一端系一小球,小球以垂直于繩的初速度運動,繩將不斷地繞在圓柱上,則該小球碰到圓柱前的軌跡與上述帶電粒子的軌跡完全一樣．

值得注意的是,雖然上述兩種情況的軌跡完全一樣,但運動時間可能不同．由于受細線約束,小球的速度大小無論以什么樣的規律變化,其運動都在這條軌跡上．只有當小球速度大小也以加速度a均勻減小,才和帶電粒子的運動規律完全一樣．當軌跡和圓柱相交時,小球可能被圓柱彈回再將繩展開．而此時帶電粒子軌跡的曲率半徑已經為0,即粒子速度已減小到0,在默認阻力也隨之消失的情況下,粒子即靜止于此,運動過程結束．

同樣地,如果帶電粒子受到的不是阻力,而是大小恒定,方向始終與速度方向相同的動力,軌跡便是不斷展開的“漸開線”．

這個帶電粒子沿“漸開線”運動的問題從高考到競賽決賽都可以涉及,為了更好地發揮它的教學價值,筆者嘗試編制了以下習題,拋磚引玉．

圖3 習題圖

習題.如圖3所示,在O-xy平面內有垂直于平面向里的勻強磁場,磁感應強度為B．一質量為m、帶電荷量為+q的粒子從O點沿x軸正方向以初速度v0開始運動,運動過程中受到一個大小恒定為f、方向始終與速度方向相反的阻力,不計重力．

(1) (高考難度)該粒子的運動軌跡可能是圖4中的

(2) (競賽預賽難度)從粒子經過O點開始計時,求t時刻粒子的速度大小及方向;

圖4

(3) (競賽復賽難度)求粒子運動的軌跡方程以及粒子最終的位置坐標;

(4) (競賽決賽難度)求粒子運動過程中x坐標分量的取值范圍．

解析: (1) 由于粒子速度不斷減小,并結合洛倫茲力方向，不難判斷(A)選項正確．

(2)由公式(1)可知,粒子運動的總時間為

(9)

當t

(10)

由公式(2)可知,粒子速度方向隨時間均勻增大,即t時刻,速度與x軸正方向夾角為

(11)

當t≥t0時,粒子的速度為0．

(3) 由前文所述,粒子的運動軌跡為圖2所示“漸開線”,其中初始繩長r1和圓柱半徑R分別為

(12)

將纏繞的角度θ作為參數(如圖5所示),可寫出軌跡的參數方程,即

x=R(1-cosθ)+(r1-Rθ)sinθ，

(13)

y=r1-Rsinθ-(r1-Rθ)cosθ，

(14)

其中r1和R由式(12)給出．t0時刻停止運動,由式(9)、(11)～(14)可得最終坐標為

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

綜上,粒子運動過程中x坐標分量的范圍為：

當然,這個問題如果不和“漸開線”類比,直接寫微分方程亦可求解,但解題過程,尤其是一些分類討論的臨界情形不太直觀．

參考文獻：

1 張璋,張引紅. 勻強磁場中不同受力下帶電粒子的運動軌跡[J].物理教學,2017,38(6):65-67.

2 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程電磁學篇[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2014:386-388.