例談物理試題中“質量不計”模型的理解及處理

盧 煒 雷光娟

(1. 江蘇省南菁高級中學,江蘇 江陰 214437; 2. 江蘇省江陰市青陽中學,江蘇 江陰 214401)

1 引言

近幾年的江蘇高考物理試題、模擬試題中常常出現“質量不計”的物理模型,如2011年第9題中的輕質絲綢,2012年第14題中的輕桿等等.我們常常遇到的輕桿、輕繩、輕環、輕彈簧都屬于“質量不計”模型,有些題目則直接標明滑輪或木板的質量不計.“質量不計”模型與學生所熟悉的質點不同,質點只考慮了物體的質量,學生可以熟練地使用牛頓第二定律進行處理.部分學生對“質量不計”不能夠充分有效的理解,不能夠在腦海中形成“質量不計”物體的運動圖像及過程,在理解及處理“質量不計”問題的時候出現了茫然.現就近幾年在江蘇高考試題、模考試題中出現的幾個典型“質量不計”模型問題進行分析、探討.

2 典型例題分析

圖1

例1.如圖1所示,傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上,一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側,綢帶與斜面間無摩擦.現將質量分別為M、m(M>m)的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上.兩物塊與綢帶間的動摩擦因數相等,且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等.在α角取不同值的情況下,下列說法正確的有

(A) 兩物塊所受摩擦力的大小總是相等.

(B) 兩物塊不可能同時相對綢帶靜止.

(C)M不可能相對綢帶發生滑動.

(D)m不可能相對斜面向上滑動.

解析:本題中絲綢為“質量不計”的理想模型.首先取絲綢為研究對象,因為絲綢為輕質絲綢,所以絲綢的質量不計,根據牛頓第二定律F=ma,絲綢受到的合外力為0(否則其a→∞),又絲綢與斜面之間沒有摩擦力,只存在兩個物塊與絲綢之間的摩擦力,所以兩個物塊對絲綢的摩擦力一定相等,再根據牛頓第三定律,即作用力與反作用力總是大小相等,所以兩物塊受到絲綢的摩擦力時刻相等,選項(A)正確;物塊與絲綢之間的摩擦因數并不知道,當動摩擦因數比較大的時候,或者當α角比較小的時候,最大靜摩擦力大于mgsinα,此時絲綢可以相對于兩個物塊同時靜止,選項(B)錯誤;因為兩物塊與綢帶間的動摩擦因數相等,且M>m,又根據fmax=μmgcosα,所以隨著α角增大,mgsinα會首先達到m的最大靜摩擦力,再繼續增大m就會相對于絲綢滑動,根據(A)選項,兩物塊與絲綢的摩擦力仍然相等,但是此時摩擦力沒有達到M的最大靜摩擦力,M仍然相對于絲綢靜止,選項(C)正確;當絲綢相對于兩個物塊同時靜止時,M沿斜面向下的分力大于m沿斜面向下的分力,m相對于斜面向上滑動,(D)選項錯誤;所以選項(A)、(C)正確.

圖2

通過本題我們發現對于質量不計的物體,也就是其質量為0,根據牛頓第二定律F=ma,其合外力必然為0.一旦我們知道了其合力為0,那么解題過程也就水到渠成.

例2.打井施工時要將一質量可忽略不計的堅硬底座A送到井底,由于A與井壁間摩擦力很大,工程人員采用了如圖2所示的裝置.圖中重錘B質量為m,下端連有一勁度系數為k的輕彈簧,工程人員先將B放置在A上,觀察到A不動;然后在B上再逐漸疊加壓塊,當壓塊質量達到m時,觀察到A開始緩慢下沉時移去壓塊.將B提升至彈簧下端距井口為H0處,自由釋放B,A被撞擊后下沉的最大距離為h1,以后每次都從距井口H0處自由釋放.已知重力加速度為g,不計空氣阻力,彈簧始終在彈性限度內.

(1) 求下沉時A與井壁間的摩擦力大小f和彈簧的最大形變量ΔL;

(2) 求撞擊下沉時A的加速度a和彈簧彈性勢能Ep;

(3) 若第n次撞擊后,底座A恰能到達井底,求井深H.

解析: 本題中底座A為“質量不計”的理想模型.

(2) 撞擊后A、B一起減速下沉,對B有

mg-kΔL=ma,

解得a=-g.

A第1次下沉,根據功能關系有

mg(H0+ΔL+h1)=Ep+fh1,

解得

(3)A第2次下沉,由功能關系有

mg(H0+ΔL+h1+h2)=Ep+fh2,

解得h2=2h1.

A第3次下沉,由功能關系有

mg(H0+ΔL+h1+h2+h3)=Ep+fh3,

解得h3=2h1+h2=4h1.

同理,A第n次下沉過程中向下滑動的距離hn=2n-1h1.

綜上可得，井底深度為

H=h1+h2+…+hn=(2n-1)h1.

本題中有的學生感到不解:A每一次下沉后,B再次回到原位置就會相對于A以不同的高度落下,那就意味著彈簧與A接觸的時候有不同的速度,但為什么每次彈簧的最大形變量卻是相同的呢?他們這樣理解，當彈簧與A相接觸,A開始移動的時候彈簧需要減速,而A要加速,他們之間的距離應該進一步縮短,也就是說彈簧的壓縮量會變得更大,而B從不同的相對高度下落,導致接觸的時候相對速度不一樣,從而每次彈簧的壓縮量ΔL自然就不一樣了.

這里就需要我們弄清楚底座A的“質量不計”的確切含義是什么了.質量不計意味著底座的質量為0.當彈簧撞擊到A,“不計質量”的A開始移動后,彈簧繼續壓縮就會導致A的合外力不為0,根據牛頓第二定律F=ma,對于質量為0的A其加速度就會趨于無窮大,所以彈簧就會瞬間又恢復到原來的形變,故彈簧不會再次壓縮.所以在整個過程中只要A動起來了,彈簧的壓縮量ΔL就是不變的.

通過本題我們還發現,“質量不計”的物體,當它的合外力為0的時候,其加速度可以是任意的值,具體數值根據具體情況而定,如本題中底座A的加速度與B相同,為-g.

圖3

例3.將一光滑桿固定在地面上,桿與地面間夾角為θ,一光滑輕環套在桿上.一個大小和質量都不計的滑輪用輕繩OP懸掛在天花板上,用另一輕繩通過滑輪系在輕環上,用手拉住輕繩另一端并使OP恰好在豎直方向,如圖3所示.現水平向右拉繩,當輕環重新靜止不動時OP繩與天花板之間的夾角為

(A) 90°. (B) 45°.

圖4

在解這道題目的時候,如果沒有注意到環是不計質量的而考慮了環的重力,那么就很難得出正確答案.另外有學生會提出:輕環由Q到PQ垂直于桿的時候是有速度的,為什么能突然靜止呢?那么我們就必須搞清楚,輕環是不計質量的,而質量是慣性的量度,所以輕環就不存在慣性.此題中同時出現了輕繩,輕繩同樣是質量不計的,而輕繩上的力總是處處相等的.

3 結束語

根據以上例題分析我們對“質量不計”模型做出如下總結:根據牛頓第二定律F=ma,質量不計的物體其所受到的合外力一定為0,在合外力為0的時候其加速度可以為任意值,或者說質量為0的物體的運動狀態是任意的,根據具體情況而定,另外質量不計的物體沒有慣性.從定性和定量兩個方面正確理解“質量不計”的物理含義,能夠使得我們簡單有效地解決物理問題.

參考文獻：

1 胡曉強. 例談理想模型與實際研究對象間的差異[J].物理之友,2017(4):9-12.

2 錢小敏. 正確理解“質量不計”[J]. 數理化學習,2014(10):71-72.