利用EXCEL工具求水中魚的虛像的準確位置

唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中學,江蘇 南京 210003; 2. 南京曉莊學院電子工程學院,江蘇 南京 211171)

1 引言

水中魚的虛像的具體位置問題,一直以來是初中物理教師授課難點之一.作為教師,僅僅了解虛像比實物淺是遠遠不夠的,而更詳細的描述在各版本教科書中均未給出,造成很多教師對這一問題的認知不夠清晰,甚至部分教師會有錯誤的理解.針對這一問題,已有許多文獻進行了探究.文獻[1]用幾何方法證明了像在物體的右上方(以下所述均按人在物體右側觀察為基準);文獻[2]用平面幾何加微分計算的方法得出同樣的結論;文獻[3]利用實驗證明了像的位置,并進一步發現觀察者若向右移動,虛像上升的同時也向右移動;文獻[4]用office軟件制圖得到了和文獻[3]相同的定性結論.

筆者認為文獻[1，2]應用的平面幾何和微分證明方法誠然巧妙精煉,但所需數學技巧較高,推理過程不易為廣大中學物理教師所理解;而文獻[3，4]在通過光路實驗或office軟件描繪像點時,則又因兩條成像光線角度差選得過大,使得像點位置不準確.

本文首先采用解析幾何方法計算出魚的虛像點位置坐標的初步表達式,接著利用EXCEL強大的數據處理能力,精確計算出多組兩條折射角相差極小的折射光線的反向延長線交點即虛像的精確位置;最后通過幾何畫板作圖使水中魚的虛像位置完整且直觀地呈現在眼前.本方法雖然計算量較大,但思路簡單且易于理解和掌握,研究過程具有一定的啟發和借鑒意義.同時,本文也有助于廣大師生加深對于水中魚的虛像問題的全面認知.

2 用解析幾何方法求解水中魚的虛像坐標的初步表達式

具體探究過程如下.

圖1 光的折射示意圖

如圖1所示,設光源(即魚)為點S,其深度為h;F為光從水中進入空氣的折射點;入射角為θ,折射角為α,則可得F點坐標為(htanθ,0),折射光線l的函數為

y=cotα(x-htanθ).

(1)

又已知水(20℃時)的折射率n=1.333,由折射定律知

進而得到

代入(1)式可得

由上式,設由光源S發出的兩條入射光線所對應的折射光線方程分別為

(2)

和

可將y1和y2的交點暫時當作魚的虛像點S′.

接著,求解S′的坐標x和y的表達式.

首先令

(3)

再將x代入(2)式,可得

(4)

3 利用EXCEL工具精確計算魚的虛像點坐標

若要求像的精確位置,θ1與θ2之間的差異應盡量小.

依照成像的含義,θ1與θ2的差值大小可作如下估算:人眼承接光時,光線的最大范圍僅限瞳孔面積.已知成人瞳孔直徑的變化范圍為L≈2～5mm,平均直徑為L=4mm.現假設人眼瞳孔直徑為該平均值,并設人眼和水下物體虛像的距離r=3m,則人眼瞳孔能接收來自該虛像光線的最大夾角度數為

鑒于人眼近距離看物體時,瞳孔直徑對于物點的張角遠大于0.076°,因此，盡管這是水中光線的夾角，式(3)和(4)中的θ1、θ2的差值Δθ取0.05°是合適的.Δθ取0.05°一方面是瞳孔的要求,另一方面也是為了精確計算出虛像點的位置.

現取魚的深度h=1m,Δθ=0.05°,根據(3)和(4)式,利用Excel工作表即可計算出魚的虛像點的精確坐標x和y,具體結果略.由于全反射角為48.61°,因此θ1取值至48°.

4 魚的虛像點位置隨入射角θ的變化軌跡

利用幾何畫板制圖,可直觀地顯示出當θ改變時魚的虛像位置的變化趨勢,見圖2.圖中坐標點右側數字為θ數值.

圖2 魚的虛像點位置隨入射角θ的變化軌跡

由計算結果和圖像可知:

(1) 隨著θ角變大,虛像位置上升并向右移動,該結果與之前文獻研究結果一致.

(2) 在(1)的基礎上,進一步觀察到像向上、向右移動時,其變化幅度越來越大.

(3) 很多初中教師認為從正上方觀察魚時,由于光幾乎豎直向上,折射很少,因此魚的虛像應該非常接近魚的實際深度.現在,通過數據可知,即便人眼從正上方觀察水中物體,虛像的位置仍明顯高于實物.當物體在水下深度為1m時,虛像最深約為0.75m,即虛像深度至少比物體淺25%.因此,很多教師的通?！罢J知”是錯誤的.

(5) 由(4)及圖2可知,當人們在遠處觀察池中魚時,由于這時整個池子都顯得非常淺,似乎成了被壓扁在水面的一個平面,因此看到的是在該平面(即水面)上被壓扁的且橫向膨脹畸變的“魚片”!另外,當我們在游泳池邊觀察游泳池的底部時,近處的泳池底部看起來還比較深,但遠處的泳池底部則會顯得非常淺了.

5 結束語

在探究過程中,筆者感受到了利用計算機輔助研究的巨大便利.以本文為例,通過計算機技術,像的精確位置、變化趨勢等情況都能清晰地呈現出來,這是其他方法所無法企及的.中學物理教師在研究某些問題時,常常冀圖通過數學方法求得完美的解析結果,但這需要具備扎實的高等數學運算能力.這樣的研究角度使得研究難度驟然增大.若能變換思路,利用計算機技術求解,可能會簡單明了許多.

參考文獻：

1 馬永常.水中魚的像究竟在何處[J]. 天津教育,1998(7-8):75.

2 陳正國.人們看到水中魚的一些特點[J]. 物理通報,2012(3):94-95.

3 魏喜武.看到水中魚的位置實驗的探究[J]. 實驗教學與儀器,2015(12):30-31.

4 王愛紅,吳彬彬.用office軟件處理魚在水中像的位置[J]. 中學物理,2015(7):89.