“球槽模型”的數理解析和一個錯誤的澄清

陳向正 李 力 張貴華

(1. 重慶市清華中學，重慶 400054; 2. 重慶市實驗中學，重慶 401320)

如圖1所示的“球槽模型”中,質量為M的光滑半圓形槽置于光滑水平面上,質量為m的小球從與圓心等高的右端靜止釋放.通常大家認為,當小球運動到圓弧最低點時,小球的速率取得最大值.其實,正如文獻[1]所指出,這是一個錯誤認識.文獻[1]在推導出小球速率隨位置變化的函數表達式后,用數學軟件畫出槽、球的質量比取不同的參數時小球的速率函數圖像,發現“只有當槽的質量為小球的2.73倍以上時,小球在最低點才有最大速度”.[1]

圖1

各量如圖1所示,對球槽系統分別由水平總動量守恒和機械能守恒定律得

mv2x=Mv1.

(1)

(2)

又小球相對槽的速度方向沿圓弧切向,有

v2ytanθ=v2x+v1.

(3)

v22=v2x2+v2y2.

(4)

令k=M/m,則可得

(5)

(6)

其中A=k+k2+(1+k)2cot2θ.

從(5)式容易看出,在θ∈[0,π/2]內,v1隨θ的增加而單調增加,故θ=π/2(即球在圓弧最低點)時槽的速率最大.但(6)式中球的速率v2的單調性則復雜得多.為簡便計,我們等價地考慮下面函數f(θ)的單調性.

(7)

f′(θ)=cosθ-

(8)

在θ∈[0,π/2]內f(θ)是廣義增函數[2](即不減函數)的充要條件是f′(θ)≥0,[2]因θ∈[0,π/2]內cosθ≥0,故只需上式中{…}≥0,即

A2≥kA+2k(1+k)2/sin2θ.

(9)

移項后提公因式有

[k2+(1+k)2cot2θ]A≥2k(1+k)2/sin2θ,

兩邊同乘sin4θ,有

[k2sin2θ+(1+k)2cos2θ][(k+k2)sin2θ+(1+k)2cos2θ]≥2k(1+k)2sin2θ.

即

[k2+(1+2k)cos2θ]A≥2k(1+k)2sin2θ.

(10)

[k2+(1+2k)cos2θ]A=2k(1+k)2sin2θ.

(11)

在上式兩邊同除以(1+k),同時令x=cos2θ≥0,則(11)式變為

[k2+(1+2k)x]·(k+x)=

2k(1+k)(1-x).

(12)

化為標準形式有

(2k+1)x2+k(5k+3)x+C=0，

(13)

其中C=k(k2-2k-2).

得到

x=cos2θ=

x=cos2θ=

(14)

于是得到下列命題

它與質量比參數k的取值有關.

圖2

圖3

參考文獻：

1 張燕怡.關于力學綜合常見模型“球槽問題”的一點討論 [J].物理教學探討,2017(4):52-52,61.

2 菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第一卷)(第8版)[M].北京:高等教育出版社,2016:107,228.