矩形區(qū)域內(nèi)清掃機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)分析*

高天蘭 周穎華

(1.西南大學(xué)附屬中學(xué),重慶 400715;2.西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院,重慶 400715)

隨著機(jī)器人技術(shù)的迅猛發(fā)展,越來越多的智能機(jī)器人產(chǎn)品走進(jìn)了人們的日常生活[1][2]。一般來說,家庭智能機(jī)器人主要分成三種類型:應(yīng)用型機(jī)器人、社交陪伴型機(jī)器人以及仿生機(jī)器人。應(yīng)用型機(jī)器人的基本功能是自主完成人類所需的家庭作業(yè),如掃地、擦窗等。社交陪伴型機(jī)器人的基本功能是能夠和人類互相交流,陪伴用戶一起成長,如目前已經(jīng)上市的阿爾法機(jī)器人、小優(yōu)等。仿生機(jī)器人,可以模仿人類的兩腿運(yùn)動,完成許多非常復(fù)雜的動作(如Asimo機(jī)器人);或者根據(jù)人類的語言來呈現(xiàn)不同的表情(如美國的索亞菲情感機(jī)器人)。目前,由于市場對清掃機(jī)器人有巨大的需求潛力,所以不斷優(yōu)化和升級清掃機(jī)器人的性能在激烈的市場競爭中顯得尤為迫切[3][4]。

清掃機(jī)器人需要在特定環(huán)境下獨立移動并完成清掃任務(wù),這就需要為機(jī)器人規(guī)劃運(yùn)動路線。目前,針對清掃機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法,國內(nèi)外許多學(xué)者都進(jìn)行了大量的研究,并提出了一系列的規(guī)劃算法。比如:人工勢場法[5]、柵格法[6]、快速擴(kuò)展隨機(jī)樹法(RRT)[7]、遺傳算法[8]、蟻群算法[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[10][11]等。這些算法都是針對不規(guī)則作業(yè)區(qū)域或者有障礙作業(yè)區(qū)域而展開的分析,由于考慮的因素過多而不可避免地存在缺點,比如出現(xiàn)死鎖現(xiàn)象、搜索時間較長、或者重復(fù)作業(yè)過多等問題。而對于規(guī)則的作業(yè)區(qū)域,比如住宅的窗玻璃、高層建筑的玻璃幕墻等,人們也設(shè)計出了一些專用清掃機(jī)器人,如北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所開發(fā)的藍(lán)天潔士系列機(jī)器人[12]。研究表明,當(dāng)作業(yè)區(qū)域為規(guī)則的平面區(qū)域(比如矩形區(qū)域)時,可采用簡單易行的迂回式路徑規(guī)劃或者回字形路徑規(guī)劃來實現(xiàn)機(jī)器人的清掃任務(wù)。

本文將為矩形區(qū)域內(nèi)采用迂回式路徑規(guī)劃和回字形路徑規(guī)劃的機(jī)器人建立運(yùn)動學(xué)模型,并進(jìn)行求解。

1 機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型

為了方便,我們首先做如下的基本假設(shè):

(H1)清掃機(jī)器人的作業(yè)區(qū)域是邊長分別為A和B的矩形區(qū)域;

(H2)清掃機(jī)器人底部的有效清掃區(qū)域為邊長分別為a和b的矩形區(qū)域;

(H3)機(jī)器人可以原地向左和向右轉(zhuǎn)彎90°;

(H4)機(jī)器人在直線運(yùn)動時保持速度為v0的勻速運(yùn)動;

(H5)機(jī)器人初始位置位于作業(yè)區(qū)域的左下角,其中心坐標(biāo)為(a/2,b/2)。

1.1 采用迂回式路徑規(guī)劃機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型

圖1 迂回式路徑規(guī)劃示意圖

圖2 迂回式運(yùn)動中三個子系統(tǒng)(S1)、(S2)和(S3)的切換規(guī)則

采用迂回式路徑規(guī)劃。機(jī)器人的運(yùn)動路線如下:機(jī)器人向前行走,到達(dá)邊界后右轉(zhuǎn)90°;向前行走a/2米,再右轉(zhuǎn)90°;向前行走,到達(dá)邊界后右轉(zhuǎn)90°;向前行走a/2米,再右轉(zhuǎn)90°。不斷循環(huán)以上行走路線,迂回地遍歷作業(yè)區(qū)域,如圖1所示。

建立如圖1所示的坐標(biāo)系,則機(jī)器人在時刻t的位置坐標(biāo)為(x(t),y(t))。在如上運(yùn)動路線情況下,機(jī)器人的運(yùn)動方向有三種:向上運(yùn)動、向下運(yùn)動、向右運(yùn)動。三個方向上機(jī)器人的運(yùn)動可分別由下列微分方程描述:

向上運(yùn)動 向右運(yùn)動 向下運(yùn)動dxt dt S dyt v■■■■■ =0（）（）■ =0■ =■■■■（）■■■■0（）（）1（）2（）dxt v dt S dyt 3（）=-■■dt■■0=■■dt dt =0 dxt dt S dyt v（）0

因此,機(jī)器人的運(yùn)動動力學(xué)可以建模為由上述三個子系統(tǒng)(S1)、(S2)和(S3)所組成的一個切換系統(tǒng),其切換規(guī)則如圖2所示。

1.2 采用回字形路徑規(guī)劃的機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型

采用回字形路徑規(guī)劃。機(jī)器人的運(yùn)動路線如下:機(jī)器人向前行走,到達(dá)邊界后右轉(zhuǎn)90°;向前行走直到另一邊界,再右轉(zhuǎn)90°;向前行走,到達(dá)距離邊界a米后右轉(zhuǎn)90°;向前行走,到達(dá)距離邊界b米,再右轉(zhuǎn)90°。不斷循環(huán)以上行走路線,迂回地遍歷作業(yè)區(qū)域,如圖2所示。

圖3 回字形路徑規(guī)劃示意圖

圖 4 迂回式運(yùn)動中四個子系統(tǒng)(D1)、(D2)、(D3)和(D4)的切換規(guī)則

在這種情況下,機(jī)器人的運(yùn)動方向有四種:向上運(yùn)動、向下運(yùn)動、向左運(yùn)動、向右運(yùn)動。為建立數(shù)學(xué)模型,建立如圖3所示的坐標(biāo)系,則機(jī)器人在時刻t的位置坐標(biāo)為(x(t),y(t))。四個方向上機(jī)器人的運(yùn)動可分別由下列微分方程描述:

向上運(yùn)動 向右運(yùn)動 向下運(yùn)動 向左運(yùn)動■ =0■■■■（）（）■=0（）dxt dt dyt v dt D1■ =■■■■（）（）■=0 0（ ）dxt v dt dyt dt D2■ =0■■■■（）=-■dxt dt dyt v dt D3（）0（ ）■ =-■■■■（）0（）■=0（ ）dxt v dt dyt dt D4

因此,機(jī)器人的運(yùn)動動力學(xué)可以建模為由上述四個子系統(tǒng)(D1)、(D2)、(D3)和(D4)所組成的一個切換系統(tǒng),其切換規(guī)則如圖4所示。

2 運(yùn)動學(xué)模型求解

2.1 采用迂回式路徑規(guī)劃的機(jī)器人的運(yùn)動方程求解

為了方便表示,記:0,1t =t =>t =t =。機(jī)器人的每一次的向上運(yùn)動、向右運(yùn)動、向下運(yùn)動、向左運(yùn)動為一個迂回周期。則,容易得到第一個迂回周期內(nèi)四個階段的運(yùn)動方程、初始值以及解析解(見表1),而且易見在第k個迂回周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值(見表2)。

根據(jù)表2中所列的微分方程及相應(yīng)的初始條件,分別求解四個運(yùn)動階段中的運(yùn)動方程,可以得到如下解析解:

2.2 采用回字形路徑規(guī)劃的機(jī)器人的運(yùn)動方程求解

類似地,機(jī)器人的每一次的向上運(yùn)動、向右運(yùn)動、向下運(yùn)動、向左運(yùn)動視為一個運(yùn)動周期,容易得到第一個運(yùn)動周期內(nèi)四個階段的運(yùn)動方程、初始值以及解析解(見表3),而且易見在第k個運(yùn)動周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值(見表4)。為了方便表示,記Tk（k = 1 ,2,3,…） 表示機(jī)器人在第k個運(yùn)動周期所花費的時間,則：

表1 在第一個迂回周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值和解析解

表2 在第k個迂回周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值( k = 1 ,2,3,…)

根據(jù)表4中所列的初始條件,分別求解四個運(yùn)動階段中的運(yùn)動方程,可以得到如下解析解:

表3 在第一個運(yùn)動周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值和解析解

表4 在第k個運(yùn)動周期內(nèi),四個階段的運(yùn)動方程及其初始值( k = 2,3,…)

3 結(jié)語與討論

自動清掃機(jī)器人是當(dāng)今應(yīng)用型機(jī)器人領(lǐng)域的熱門產(chǎn)品。隨著消費者對其智能化和多功能化要求越來越來高,這種機(jī)器人的結(jié)構(gòu)和功能也在不斷地進(jìn)化和升級。其中,消費者關(guān)注機(jī)器人的智能性主要集中于機(jī)器人的遍歷性、低重復(fù)性以及避障性能。從技術(shù)層面上看,這些智能性在很大程度上依賴于機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法。本文對無障矩形區(qū)域的迂回式路徑規(guī)劃以及回字形路徑規(guī)劃算法進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,分別得到了由四個子系統(tǒng)組成的切換微分系統(tǒng),并給出了它們的解析解。在實際的應(yīng)用中,機(jī)器人的位置可以通過深度照相機(jī)等技術(shù)獲得,而機(jī)器人期望軌跡可通過實際環(huán)境中路標(biāo)的真實布局加以設(shè)計,進(jìn)而提高本文方法的普適性。

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