基于APOS理論的初中數學法則課教學實踐與思考

李林華

APOS理論是一種建構主義的數學學習理論，是由美國數學教育學家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的。APOS分別是由英文“Action（操作）”“Process（過程）“Object（對象）”“Scheme（圖式）”的第一個字母組合而成。APOS理論認為：在數學學習中，如果引導個體通過具體的操作行為到思維的操作，再到過程和對象階段后，個體一般就能在建構、反思的基礎上把它們組合成圖式，從而理清問題情境，順利解決問題。通過查閱有關文獻我們發現，國內外研究者主要關注APOS理論在數學概念教學中的應用，并取得了一定的成果，而關注APOS理論在數學法則教學中的應用研究卻很少。因此，筆者嘗試將APOS理論運用到初中數學法則的教學中，并以新人教版七年級上冊第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教學為例，闡述教學實踐與教學思考。

一、教學過程

（一）操作階段——創設情境，引入法則

“操作”泛指數學活動，如動手操作、猜想、回憶、計算、推理等。為了讓學生通過操作、思考和討論等數學活動來解決問題，筆者創設了如下問題情境：

《九章算術》是中國古代具有代表性的數學著作，它奠定了中國古代數學的基本框架，它的代數成就主要包括開方術、正負術和方程術，其中方程術是《九章算術》最高的數學成就。《九章算術》中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數、雞價各幾何？”譯文：“有若干個人一起買雞，如果每人出9文錢，就多余11文錢；如果每人出6文錢，還缺16文錢.問買雞的人數和雞的價錢各是多少？”

然后用課件出示問題情境和相關圖片，并提問：

問題1：我們如何設未知數列方程呢？

此問題情境屬于中國古代數學的“盈不足問題”，在利用“移項”解一元一次方程中學生已經學習過，因此學生能較快得到如下解答：設人數有x人，根據題意列出方程9x-11=6x+16①，解得x=9，再把x=9代入（9x-11）可得雞的價錢是70文錢。

教師及時肯定學生的解法，并追問：

問題2：如果設雞的價錢是m文錢，那么我們又該如何列方程呢？

學生：設雞的價錢是m文錢，如果每人出9文錢，就多余11文錢，那么所有人出的總錢數是（m+11）文錢，所以共有■人；如果每人出6文錢，還缺16文錢，那么所有人出的總錢數是（m-16）文錢，所以共有■人。由于買雞人數是一個定值，從而列出方程■=■②。

問題3：方程①與方程②之間有怎樣的聯系？

學生：方程①是根據雞的價錢不變列方程的，方程②是根據買雞人數不變列方程的。事實上，由于9x-11=6x+16=m，通過移項、系數化為1可得：x=■=■，因此可得方程：■=■②，這說明方程①與方程②在本問題中是等價的。

以學生熟悉的“盈不足問題”創設情境引入新課，營造輕松的學習環境，使學生產生較強的求知欲望。通過同一道題目兩種不同的設未知數方法，巧妙地把新舊知識聯系在一起，既復習了學過的知識，又引出了帶有分數系數的一元一次方程，直接指向本節課的教學內容。

（二）過程階段——合作交流，習得法則

過程階段是在操作階段的基礎上進行思考與概括、描述與整合，是在大腦中進行的一種內部的心理建構，進而形成一種模式的階段。

教師繼續提問，引導學生分析思考：

問題4：方程②該如何求解呢？

在教師的引導下，學生進行了熱烈的討論，其中三名學生說出了各自的想法。

學生①：我們可以把方程②轉化為■（m+11）=■（m-16），然后根據前面學過的解法求出方程的解。

學生②：根據比例的內項之積等于外項之積，那么方程②就可以直接轉化為9（m-16）=6（m+11），然后根據前面學過的解法求出方程的解。

學生③：前面我們已經學習了等式的性質2，那么方程②兩邊同時乘以18，可以得到2（m+11）=3（m-16），然后根據前面學過的解法求出方程的解。

三名學生的精彩回答贏得了全班同學熱烈的掌聲，教師順勢追問：

問題5：學生③的解法中方程②兩邊同時乘以18的目的是什么？還可以乘以其他數嗎？

問題6：三種解法各有什么特點與聯系？我們采用什么方法解方程■-■=0更好？

教師根據學生的回答并總結歸納：根據等式的性質2及乘法分配律，在方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數可以去分母。

至此，學生在已有經驗基礎上，經過思考、討論，體會并理解了“去分母”這一數學法則的目的及依據，為后續解方程做好了鋪墊。

接著，教師進行變式練習。通過變式訓練，學生感受到了去分母方法的簡便，同時對去分母的目的和依據有了進一步的理解。

（三）對象階段——學習樣例，理解法則

對象階段是指給習得的法則賦予形式化的表達，使其成為一個具體的“對象”，此階段可以使學生對所學的數學法則進一步精致化，從而達到對法則真正的理解。

教師出示例題1：解方程■-3x=1-■，并追問：

問題7：解含分數系數的一元一次方程的基本步驟有哪些？每一個步驟有什么注意事項？

問題8：以為未知數的方程逐步向著x=a的形式轉化的主要依據是什么？

學生獨立完成例題1的解答，然后分組討論問題7、問題8，在討論過程中互相補充、完善，最后師生一起總結歸納得出結論。

教師用框圖展示解法流程，并在黑板上板書解題過程如下，使學生更加明確其解題步驟，規范其書寫格式，并及時總結解題過程中可能出現的錯誤，加深學生對數學法則的理解，從而使數學法則深深地建立在學生的頭腦中，以后遇到含分數系數的方程就可以直接提取使用。

（四）圖式階段——拓展提高，應用法則

學生在經歷了前三個階段的學習，此時數學法則就以一種立體的、多層次的認知對象存在于腦海之中，這時的對象稱為“圖式”。在這一認知基礎上去解決相關的問題，能促使學生對所學法則的認識更加全面、豐富、清晰，運用更加靈活。

筆者又出示了下列題組，供學生思考訓練：

練習1：解方程■-■=1.6。

練習2：若式子■與■的值互為相反數，求a的值。

練習3：如果關于x的方程

2（x-1）-5=3+x與方程■+■=x-4的解相同，求m的值。

有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了。”你知道丟番圖去世時的年齡嗎？

本題組從不同的角度考查學生對去分母的理解程度，促使學生對學習的法則進行遷移、應用。練習1分母由整數變成了小數，考查學生對去分母的方法是否掌握；練習2中的未知數由替換為，并且以相反數的知識為情境，要求學生先列出方程再求解；練習3結合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。

最后教師以思考題的形式引導學生小結：

問題9：本節課學習了哪些主要內容？

問題10：去分母法則是怎么得到的？去分母法則的依據是什么？應用去分母法則時應該注意什么問題？

通過題組練習和課堂小結，深化了學生對去分母的理解，完善了學生的認知結構， “圖式”基本上形成了，以后當學生遇到含分數系數的方程時，學生就會積極調動與之相關的圖式，正向遷移，順利地解決問題。

二、教學思考

APOS理論與《義務教育數學課程標準》（2011年版）所倡導的“自主探索、動手實踐、合作交流”的教學理念不謀而合。但另一方面，也要看到并不是所有數學法則課的教學都適合用APOS理論來分析，什么教學內容適合運用APOS理論進行指導，這是一個值得探究的問題。其次，APOS理論的四個階段應將其視為一個連續的過程，既不能割裂開來，也不能絕對化，實際操作中往往會有相互穿插的情況出現，但達到圖式水平的教學目標不變，如何將教學環節與APOS理論的四個階段建立實質上的聯系，是一項富有挑戰性的工作。

【基金項目：本文系廣州市教育科學規劃2016年度課題“基于APOS理論的初中數學公式有效教學研究”（立項編號：1201554222）與廣州市越秀區教育科學“十三五”規劃2016年度立項課題“基于APOS理論的初中數學公式法則有效教學研究”（課題審批號：越學科類[2016]13號）的研究成果。】

責任編輯羅峰