淺析卡諾圖化簡邏輯函數

劉中旭

【摘要】在學習數字邏輯課程時，經常需要對邏輯函數進行化簡。化簡時，一種方法是使用布爾代數的定律進行化簡，另一種方法是使用卡諾圖進行化簡。第一種方法要求準確掌握布爾代數定律和一些化簡技巧，第二種方法則相對簡單。

【關鍵字】卡諾圖 化簡

一、卡諾圖介紹

卡諾圖是由美國貝爾實驗室的電信工程師莫里斯·卡諾（Mau-rice Karnaugh）在1953年根據維奇圖改進而來的，它是一種平面方格圖。1任何一個邏輯函數都可以化為一組最小項之和的表達式，每一個最小項對應卡諾圖中的一個方格。圖1和圖2分別為三變量和四變量的卡諾圖。每一個最小項用m加上下標表示，下標為最小項編號對應的二進制數轉化為十進制數。原變量取值1，非變量取值0，例如ABC編號為110，用m₆表示。

二、邏輯函數在卡諾圖中的表示

雖然卡諾圖中的一個方格表示邏輯函數的一個最小項，但在將邏輯函數填寫入卡諾圖中時，不一定需要將邏輯函數化成最小項之和的表達式。例如F=BC，如果化為最小項之和的形式為F=BC（A+A）（D+D）=A BCD+A BCD+ABCD+ABCD，然后在卡諾圖中表示將A BCD、A BCD、ABCD和ABCD的方格填寫1，轉化過程較為繁瑣，如圖3。在熟悉卡諾圖結構后，可以直接填寫，省去轉化為最小項之和的過程，B表示卡諾圖中第2、3行，C表示第3、4列，重合的區域即為BC，如果圖4。

三、卡諾圖化簡規則和步驟

用卡諾圖化簡邏輯函數時，首先要找到2n個相鄰最小項（為1的方格）的組合，用圈包圍；圈中的為1方格的數目盡量要大；每個組合中至少一個為1方格是其他組合沒有的：先畫大圈，再畫小圈，圈盡量少，直到所有為1的方格都被圈包圍。如果1個圈里面有2n個相鄰最小項，則可以消去n個變量。在找相鄰最小項時，除了幾何上相鄰，還包括邏輯上相鄰，即在卡諾圖中最上面和最下面的行、最左側和最右側的列是邏輯上相鄰的。圖5中，4個圈所包圍的最小項均是幾何上相鄰。圖6中的有2個圈，上下組成一個圈，左右組成一個圈，每個圈內的最小項是邏輯相鄰的。

例：用卡諾圖化簡F=ABCD+ABCD+AB+AD+ABC。這是一個4變量的邏輯函數，首先先畫出4變量的卡諾圖，把化簡函數的各項填入卡諾圖中：然后根據化簡規則和步驟畫圈，最下面4個為1的方格用一個圈包圍，用AB表示，最左列和最右列的4個為1的方格用一個圈包圍，用AD表示，總共用了2個圈，因此F=AB+AD，如圖7。

對于4變量及以下的邏輯函數化簡而言，卡諾圖化簡是一種較為簡便的方法，值得注意的是在有些情況下，因圈法的不同，得到的化簡結果不一樣，即一個邏輯函數的最簡與或表達式不是唯一的。

參考文獻：

[1]白中英，謝松云數字邏輯[M].北京：科學出版社，2013