從微積分教學(xué)中體會讀書薄與厚的辯證過程

陶印修 趙紅

【摘要】從微積分教學(xué)的角度體會讀書的辯證過程。先從函數(shù)談簡單與復(fù)雜的辯證過程，再從微分學(xué)談簡單與復(fù)雜的辯證過程，最后從積分學(xué)談簡單與復(fù)雜的辯證過程。無論簡單與復(fù)雜，都與五種基本初等函數(shù)密切相關(guān)，說明五種基本初等函數(shù)在微積分中起至關(guān)重要作用，抓住此線就能達到讓同學(xué)在簡單、輕松、愉悅中學(xué)好微積分。

【關(guān)鍵詞】由簡單到復(fù)雜 由復(fù)雜到簡單 五種基本初等函數(shù) 辯證過程

一、簡單函數(shù)與復(fù)雜函數(shù)的辯證過程

1.簡單函數(shù)

簡單函數(shù)：常數(shù)和五種基本初等函數(shù)是簡單函數(shù)，以及由常數(shù)和五種基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算所得到的函數(shù)也是簡單函數(shù)。

簡單函數(shù)的抽象化：y=f（u）（u是中間變量）和u=φ（x）皆是簡單函數(shù)。簡單函數(shù)y=f（u）的具體化：y=f（u）是u的五種基本初等函數(shù)之一。

例1 y=f（u）= 是u的五種基本初等函數(shù)之一的冪函數(shù)，其為簡單函數(shù)；而=1u=φ（x）=1-x₂也是簡單函數(shù)。

2.由簡單函數(shù)到復(fù)雜函數(shù)

由y=f（u）和u=φ（x）復(fù)合成y=f[φ（x）]就是由簡單函數(shù)到復(fù)合（復(fù)雜）函數(shù)。當(dāng)y=f（u）是u的五種基本初等函數(shù)之一時，對應(yīng)的復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]就是該基本初等函數(shù)型。

例2設(shè)y=f（u）= ，u=φ（x）=1-x₂，求其構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]。

復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]通常就是五種基本初等函數(shù)型。

3.由復(fù)雜函數(shù)到簡單函數(shù)

把y=f[φ（x）]分解為y=f（u）和u=φ（x）就是由復(fù)雜函數(shù)到簡單函數(shù)。

例3把復(fù)合函數(shù)y=e_x/x+1分解為簡單函數(shù)。

解y=e_x/x+1是指數(shù)函數(shù)型，分解為y=e_u，u=x/x+1。

二、簡單微分學(xué)與復(fù)雜微分學(xué)的辯證過程

1.簡單微分學(xué)

能夠利用導(dǎo)數(shù)（或微分）基本公式，求導(dǎo)（或微分）的四則運算法則的求導(dǎo)（或求微分）的題皆是簡單微分學(xué)。

導(dǎo)數(shù)（或微分）基本公式就是關(guān)于常數(shù)和五種基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）基本公式。

求導(dǎo)（或微分）的四則運算法則就是關(guān)于加減乘除的求導(dǎo)（或求微分）的四則運算法則。

例4已知f（x）=x₃3+4cosx+sinπ/2，求f'（x）。

解f'（x）=3x₂-4sinx。

2.由簡單微分學(xué)到復(fù)雜微分學(xué)

用五種基本初等函數(shù)的微分學(xué)解決五種基本初等函數(shù)型的微分學(xué)就是由簡單微分學(xué)到復(fù)雜微分學(xué)。

把導(dǎo)數(shù)基本公式抽象才來寫就是：df（u）/du=f'（u），其中既可以是中間變量，也可以是白變量（導(dǎo)數(shù)用微商表示更能體現(xiàn)對哪個變量求導(dǎo)）。

例5冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本公式為du_a/du=au_a-1。

把微分基本公式抽象出來寫就是：df（u）=f'（u）du，其中既可以是中間變量，也可以是白變量。此式也是復(fù)合函數(shù)微分法則。

三角正弦的微分基本公式為d sin u=cos udu。

3.由復(fù)雜微分學(xué)到簡單微分學(xué)

把y=f[φ（x）]的微分學(xué)運算歸結(jié)為y=f（u）和u=φ（x）的微分學(xué)運算就是由復(fù)雜微分學(xué)到簡單微分學(xué)。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歸結(jié)為兩個簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。

三、簡單積分學(xué)與復(fù)雜積分學(xué)的辯證過程

1.簡單積分學(xué)

能夠利用積分（微分的逆運算）基本公式（原函數(shù)除去常數(shù)外，其余皆是五種基本初等函數(shù)之一），積分的運算性質(zhì)（只有兩個運算性質(zhì)，即關(guān)于和差與常數(shù)倍的運算）解決的積分題皆是簡單積分學(xué)。

2.由簡單積分學(xué)到復(fù)雜積分學(xué)

用原函數(shù)為五種基本初等函數(shù)的積分學(xué)解決原函數(shù)為五種基本初等函數(shù)型的積分學(xué)就是由簡單積分學(xué)到復(fù)雜積分學(xué)。 把積分基本公式深化出來寫就是：∫f'（u）du=f（u）+C，其中u既可以是中間變量，也可以是自變量。

當(dāng)u是白變量時，上式就是積分基本公式；

當(dāng)u是中間變量時，上式就可以引申出第一換元積分法。

例8原函數(shù)反正切函數(shù)的積分基本公式為∫1/1+u₂du=arctanu+C。

3.由復(fù)雜積分學(xué)到簡單積分學(xué)

把原函數(shù)為五種基本初等函數(shù)型的積分學(xué)運算（第一換元積分法）歸結(jié)為原函數(shù)為五種基本初等函數(shù)的積分學(xué)運算就是由復(fù)雜積分學(xué)到簡單積分學(xué)。

解第一換元積分法的題，湊微分φ'（x）dx=du（即求微分du=φ'（x）dx的逆運算，亦即左等于右、右等于左的問題）起至關(guān)重要的作用，其中u=φ（x）為線性函數(shù)或為五種基本初等函數(shù)之一，湊微分通常就是上述六種類型。

解第一換元積分法的題有兩種解法

解法一（體現(xiàn)換元，此解法初學(xué)者易接受）令u=φ（x），則φ（x）dx=du，∫f'[φ（x）]φ'（x）dx=∫f'（u）du=f（u）+C=f[φ（x）]+C。

解法二（體現(xiàn)湊微分，此解法常用）∫f'[φ[x）]φ'（x）dx=∫f'[φ（x）]dφ（x）=f[φ（x）]+C。