從微積分教學中體會讀書薄與厚的辯證過程

陶印修 趙紅

【摘要】從微積分教學的角度體會讀書的辯證過程。先從函數談簡單與復雜的辯證過程，再從微分學談簡單與復雜的辯證過程，最后從積分學談簡單與復雜的辯證過程。無論簡單與復雜，都與五種基本初等函數密切相關，說明五種基本初等函數在微積分中起至關重要作用，抓住此線就能達到讓同學在簡單、輕松、愉悅中學好微積分。

【關鍵詞】由簡單到復雜 由復雜到簡單 五種基本初等函數 辯證過程

一、簡單函數與復雜函數的辯證過程

1.簡單函數

簡單函數：常數和五種基本初等函數是簡單函數，以及由常數和五種基本初等函數經過有限次的四則運算所得到的函數也是簡單函數。

簡單函數的抽象化：y=f（u）（u是中間變量）和u=φ（x）皆是簡單函數。簡單函數y=f（u）的具體化：y=f（u）是u的五種基本初等函數之一。

例1 y=f（u）= 是u的五種基本初等函數之一的冪函數，其為簡單函數；而=1u=φ（x）=1-x₂也是簡單函數。

2.由簡單函數到復雜函數

由y=f（u）和u=φ（x）復合成y=f[φ（x）]就是由簡單函數到復合（復雜）函數。當y=f（u）是u的五種基本初等函數之一時，對應的復合函數y=f[φ（x）]就是該基本初等函數型。

例2設y=f（u）= ，u=φ（x）=1-x₂，求其構成的復合函數y=f[φ（x）]。

復合函數y=f[φ（x）]通常就是五種基本初等函數型。

3.由復雜函數到簡單函數

把y=f[φ（x）]分解為y=f（u）和u=φ（x）就是由復雜函數到簡單函數。

例3把復合函數y=e_x/x+1分解為簡單函數。

解y=e_x/x+1是指數函數型，分解為y=e_u，u=x/x+1。

二、簡單微分學與復雜微分學的辯證過程

1.簡單微分學

能夠利用導數（或微分）基本公式，求導（或微分）的四則運算法則的求導（或求微分）的題皆是簡單微分學。

導數（或微分）基本公式就是關于常數和五種基本初等函數的導數（或微分）基本公式。

求導（或微分）的四則運算法則就是關于加減乘除的求導（或求微分）的四則運算法則。

例4已知f（x）=x₃3+4cosx+sinπ/2，求f'（x）。

解f'（x）=3x₂-4sinx。

2.由簡單微分學到復雜微分學

用五種基本初等函數的微分學解決五種基本初等函數型的微分學就是由簡單微分學到復雜微分學。

把導數基本公式抽象才來寫就是：df（u）/du=f'（u），其中既可以是中間變量，也可以是白變量（導數用微商表示更能體現對哪個變量求導）。

例5冪函數的導數基本公式為du_a/du=au_a-1。

把微分基本公式抽象出來寫就是：df（u）=f'（u）du，其中既可以是中間變量，也可以是白變量。此式也是復合函數微分法則。

三角正弦的微分基本公式為d sin u=cos udu。

3.由復雜微分學到簡單微分學

把y=f[φ（x）]的微分學運算歸結為y=f（u）和u=φ（x）的微分學運算就是由復雜微分學到簡單微分學。

復合函數求導法則就是復合函數求導歸結為兩個簡單函數導數的乘積。

三、簡單積分學與復雜積分學的辯證過程

1.簡單積分學

能夠利用積分（微分的逆運算）基本公式（原函數除去常數外，其余皆是五種基本初等函數之一），積分的運算性質（只有兩個運算性質，即關于和差與常數倍的運算）解決的積分題皆是簡單積分學。

2.由簡單積分學到復雜積分學

用原函數為五種基本初等函數的積分學解決原函數為五種基本初等函數型的積分學就是由簡單積分學到復雜積分學。 把積分基本公式深化出來寫就是：∫f'（u）du=f（u）+C，其中u既可以是中間變量，也可以是自變量。

當u是白變量時，上式就是積分基本公式；

當u是中間變量時，上式就可以引申出第一換元積分法。

例8原函數反正切函數的積分基本公式為∫1/1+u₂du=arctanu+C。

3.由復雜積分學到簡單積分學

把原函數為五種基本初等函數型的積分學運算（第一換元積分法）歸結為原函數為五種基本初等函數的積分學運算就是由復雜積分學到簡單積分學。

解第一換元積分法的題，湊微分φ'（x）dx=du（即求微分du=φ'（x）dx的逆運算，亦即左等于右、右等于左的問題）起至關重要的作用，其中u=φ（x）為線性函數或為五種基本初等函數之一，湊微分通常就是上述六種類型。

解第一換元積分法的題有兩種解法

解法一（體現換元，此解法初學者易接受）令u=φ（x），則φ（x）dx=du，∫f'[φ（x）]φ'（x）dx=∫f'（u）du=f（u）+C=f[φ（x）]+C。

解法二（體現湊微分，此解法常用）∫f'[φ[x）]φ'（x）dx=∫f'[φ（x）]dφ（x）=f[φ（x）]+C。