談高中數學課后作業的分層設計與數學運算核心素養的對接

張影

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0168-02

核心素養正成為引領教育發展的一面旗幟。如何培養學生的數學核心素養，取決于教師對數學教學活動的理解，而數學作業是教學活動的重要環節，是學生鞏固、深化課堂所學知識的主要方式。數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段。在數學運算核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展數學運算能力；能有效借助運算方法解決實際問題；能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣；能形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

以素質教育為背景的我國當前教學改革則倡導面向全體學生、使學生全面發展的現代發展式教學觀。這一觀點認為，教學的本質是激勵學生的學習積極性，幫助學生全面發展。而前蘇聯教育家維果茨基的“最近發展區理論”所倡導的教學觀恰好與之暗合。教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到其困難發展到的水平，然后在此基礎上進行下一個發展區的發展。而在這一過程中，教師扮演著“促進者”和“幫助者”的角色，指導、激勵、幫助學生全面發展。

一個班級的學生在知識能力、學習態度、學習方法等方面存在著較大的差異，而素質教育要求我們要面向全體學生，使每個學生的才能得到充分的發展。如何讓優等生“吃得好”、中等生“吃得飽”、差等生“吃得了”，這就決定了現行的教育必須遵循新型的“因材施教”原則，實行分層教學。本文主要從數學作業的分層設計闡述數學運算核心素養的形成。對于這一問題，筆者以為，從以下幾個方面進行數學作業分層設計與數學運算核心素養的對接：

一、問卷調查，劃分學生層次

實施分層教學，教師要通過觀察學生的行為習慣、測驗成績以及問卷調查等各種途徑，充分認識每位學生個體間的差異，綜合考慮每位學生現有的認知基礎、學習能力、學習態度等，掌握全班學生的基本情況，將學生按一定的比例分為A（基礎、思維能力不強和態度較差的學生）、B（基礎中等、思維能力較好和態度端正的學生）、C（基礎扎實、思維能力強和態度積極的學生）三個不同層次。各層次學生人數的比例一般設置為1：2：1為好，經過一段時間的學習測試，在做微調。

二、精選習題，劃分作業層次

可將作業難易程度分為A（基礎類）、B（提高類）、C（創新探究類）三個不同層次。A層次學生必做A層和B層第一問作業，B層第二問選做；B層次學生必做A層和B層作業，C層選做；C層學生全做。這樣可使A、B層學生有練習的機會，C層學生也有充分發展的余地，都能享受到成功的喜悅，因而提高學習數學的興趣。這也暗合了前蘇聯教育家維果茨基的“最近發展區”理論。由于分層作業的份量、難度適宜，選擇自主、完成時間靈活，不同層次的學生完成作業不再有困難，這無疑激發了學生完成作業的樂趣。

三、解析幾何課后作業的分層設計與數學運算核心素養的對接

解析幾何用坐標法來研究圖形的幾何性質，問題一般涉及的參數、變量多，運算量大，素來有“方法易得，結果難求”的特質。看得懂題目，算不出答案，成為不少學生心中“永遠的痛”。下面我們從課后作業的分層設計來論述如何在解析幾何教學中，從樹立運算信心、增強意志力、重視學生認知發展、加強算法指導等方面來培養學生的運算能力。以下三道試題是某一天的分層作業訓練：

A層.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上，且，，。

求雙曲線的方程。

解：由題意知，在中，，

即，所以c=5。

由雙曲線的定義，知，即a=1。

所以，故雙曲線的方程為。

點評：該題是解析幾何的基礎運算題，運用圓錐曲線的常見方法就可以解決，是增強學生運算積極性的一個好題目，為所有學生必做題。

B層.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，2），且點A（x1，y1） 與點B（x2，y2）均在拋物線上。

（1）求該拋物線的方程及其準線方程；

（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求證直線AB的斜率為定值。

解：（1）由已知，設拋物線的方程為y2=2px（p>0）。

∵點P（1，2）在拋物線上，∴22=2p×12，解得p=2。

故所求拋物線的方程是y2=4x，準線方程是x=-1。

（2）設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，

則，。

∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴。

由，均在拋物線上，得，①；，②。

∴，∴。

由①-②得，，

∴。

點評：該題第一問是解析幾何的基礎題，學生容易解決，為所有學生必做題；第二問是解析幾何的中檔題，是A層次學生的“最近發展區”問題，該問題的解法中雖然涉及較多參數，有一定的運算難度，但只要把握點A、B都在拋物線上和處理圓錐曲線的弦的斜率常用方法“點差法”就可解決。該問題在培養學生基本運算技能和方法的同時，也可以訓練學生的心理素質和意志品質。讓學生在解題體驗中尋求合理的運算方案以及簡化運算的基本途徑和方法，親身經歷運算困難的發生與克服困難的完整過程，增強解決復雜問題的信心。

C層.已知橢圓C1的中心為坐標原點O，離心率，其中一個焦點的坐標為，

（1）求橢圓C1的標準方程；

（2）當點在橢圓C1上運動時，設動點的運動軌跡為C2若點T滿足：，其中M，N是C2上的點。直線OM，ON的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點F1，F2，使得|TF1|+|TF2|為定值？若存在，求F1，F2的坐標；若不存在，說明理由。

解：（1）C1：。

（2）設P（x，y），則

因為點在橢圓C1上運動，

所以。

故動點P的軌跡C2的方程為x2+2y2=12。

設M（x1，y1），N（x2，y2），T（m，n），

由，得，①

設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由已知條件知

所以。

因為點M，N在橢圓C2上，

所以，②

故，

從而知T點是橢圓上的點，

所以，存在兩個定點F1，F2，且為橢圓的兩個焦

點，使得|TF1|+|TF2|為定值。其坐標分別為。

點評：該題是解析幾何的難題，涉及參數多，運算難度大，運算難在含有多個參數的化簡和轉化上，是B層次學生的選做題，是該層次學生的“最近發展區”問題，是C層次學生必做題。解析幾何題目本身并不很難，難就難在運算上，解決運算問題，必須要有信心，理清思路按部就班計算就行了，不要怕麻煩。事實上，如果平時教學中教師不斷加強、引導，自然會提高學生算下去的信心。解決第2問是先用“相關點法”求出軌跡C2的方程，再由已知得到點M，N的坐標和點T的坐標之間的等量關系①，關鍵是利用點M，N的坐標滿足軌跡C2的方程得到等量關系②，并觀察等量關系之間①與②的整體特征，從而化簡消去參數x1，y1，x2，y2，得到點T的坐標所滿足的方程，最后由橢圓定義得到所求的定值。

著名數學教育家波利亞有一句名言“教學生解題是意志的教育”，在教學中要對學生進行解題的心理訓練和意志磨煉，練出過硬的心理素質和意志品質，克服畏難情緒，提高運算能力。通過以上分層作業訓練，學生樹立了運算的信心，培養了學生的運算能力，讓學生自己領悟和反思運算的步驟、方法和技巧，才能夠真正提高學生的數學運算核心素養。