高考函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想

慶曉國(guó)

摘 要 本文針對(duì)高考函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想研究，將從函數(shù)性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化與劃歸概述入手，結(jié)合高考函數(shù)試題的考察重點(diǎn)，對(duì)轉(zhuǎn)化與劃歸思想在試題中的體現(xiàn)展開探討。希望本文的研究，能為使劃歸思想更加深入各種類型高考數(shù)學(xué)試題中提供參考性建議。

關(guān)鍵詞 高考試題 數(shù)學(xué)函數(shù) 轉(zhuǎn)化與劃歸方法

中圖分類號(hào)：O174 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0前言

所謂“化歸”思想，就是指轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，將有待解決或者難以解決的問(wèn)題，歸結(jié)到一個(gè)已經(jīng)解決或者的容易解決的問(wèn)題中，以此求得解決，這樣的解題思維就是“化歸”思想。在數(shù)學(xué)解題思想方法中，化歸思想是常用的方法之一，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)試題的考察重點(diǎn)。因此，加強(qiáng)高考函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想研究具有重要意義。

1函數(shù)性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化與化歸概述

近幾年，在高考數(shù)學(xué)中，化歸思想一次次在不同類型試題中得到體現(xiàn)。可見(jiàn)，化歸思想是近年來(lái)的考核重點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)科目中，函數(shù)問(wèn)題是高考的重要分支。函數(shù)特性，是通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)反映出來(lái)的，比如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性、奇偶性等，而在解決數(shù)學(xué)試題中，只有充分讀懂題干中所給的條件，并利用條件分析出函數(shù)的性質(zhì)，才能夠?qū)⒁阎獥l件進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化與運(yùn)用。一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題，往往通過(guò)化歸思想中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，就可以使函數(shù)問(wèn)題峰回路轉(zhuǎn)，化難為易。

2高考函數(shù)試題的考察重點(diǎn)

函數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)關(guān)于函數(shù)問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)繁多，題型的變化也多種多樣，考生僅掌握函數(shù)基本知識(shí)并不夠，只有在此基礎(chǔ)上會(huì)靈活運(yùn)用各種解題方法和技巧，才能夠在高考中應(yīng)用各種各樣的題型。高考對(duì)函數(shù)試題的考察重點(diǎn)主要包括以下內(nèi)容：

（1）抽象函數(shù)與二次函數(shù)。具體考察的是二次函數(shù)單調(diào)性與最值問(wèn)題，包括不等式與其結(jié)合應(yīng)用，在解答時(shí)需要結(jié)合函數(shù)解析式與圖像特性。（2）函數(shù)性質(zhì)與圖像。具體考察的是學(xué)生對(duì)奇偶性的掌握，解題時(shí)需要這兩點(diǎn)性質(zhì)的結(jié)合。（3）函數(shù)綜合應(yīng)用。考察的是學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與函數(shù)思想的結(jié)合能力，包括對(duì)函數(shù)變化性、制約性等加以靈活運(yùn)用。

3轉(zhuǎn)化與劃歸思想在試題中的體現(xiàn)

3.1將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀問(wèn)題

對(duì)于復(fù)合型與抽象類型函數(shù)，一般不進(jìn)行直接計(jì)算，而是將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單、直觀的函數(shù)加以解決，主要應(yīng)用在三角函數(shù)類型試題中，如例題1。

例1：已知函數(shù)f（x）=Cos x*Sin（x+ /3）-Cos 2x+/4，x∈R

求解：（1）函數(shù)f（x）最小周期。（2）函數(shù)f（x）在[-，]區(qū)間上的最值。（2015年天津卷）

本題的解題思路為：通讀題干發(fā)現(xiàn)復(fù)合型三角函數(shù)無(wú)法直接看出周期，因此對(duì)該函數(shù)進(jìn)行變形以求出函數(shù)f（x）周期。然后，將區(qū)間邊界值帶入常規(guī)函數(shù)，求出最值。

3.2不規(guī)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)則問(wèn)題

不規(guī)則函數(shù)問(wèn)題的考察，主要形式是將函數(shù)與不等式相結(jié)合，組成抽象的、不規(guī)則的、復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題。此類型函數(shù)問(wèn)題的第一步驟就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為規(guī)則類型函數(shù)。該轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用最為典型的就是恒成立問(wèn)題，如例題2。

例2：已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，e為自然底數(shù)。

求解：（1）f（x）是R的偶函數(shù)，請(qǐng)證明。（2）若不等式mf（x）≤e-x+m-1在大于0的區(qū)間內(nèi)恒成立，此時(shí)m的取值范圍。（2016年江蘇卷）

本題的解題思路為：首先確定該題型為方程式與不等式的結(jié)合類型，對(duì)考生來(lái)說(shuō)有一定難度。因此，應(yīng)當(dāng)先將不規(guī)則問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化。比如，第二個(gè)問(wèn)題，首先假設(shè)t=ex，分析出t>1，然后將t帶入到不等式當(dāng)中，求出t的值，再還原到假設(shè)中去求出x值，最后，確定m取值范圍。

3.3將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題

將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題的化歸思想，主要處理方法是賦值，再利用特殊值求得具體的函數(shù)值，如例題3。

例3：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，并且，g（x）=x3+x2+1，

求解g（1）+f（1）。（2016年天津卷）

本題的解題思路為：確定函數(shù)為抽象函數(shù)類型，可以對(duì)變量進(jìn)行賦值，以此對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷。比如，在例題當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)首先對(duì)x賦值，分別賦值為1和-1，帶入函數(shù)后推出f（1）和與f（-1）之間的關(guān)系，然后得出f（1）和f（-1）的值。

3.4數(shù)形轉(zhuǎn)化法

對(duì)于一般的函數(shù)而言，函數(shù)性質(zhì)可以由圖像表示，也可以用表達(dá)式表示。因此，利用樹形轉(zhuǎn)化法解題，是函數(shù)題中常用的方法，見(jiàn)例題4。

例4：已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R，若f（x）-a|x-1|=0，且4個(gè)實(shí)數(shù)根彼此互異。

求解實(shí)數(shù)a的取值范圍。（2016年上海卷）

本題的解題思路是：將數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想進(jìn)行結(jié)合，以此發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的性質(zhì)及其變化規(guī)律，進(jìn)而使函數(shù)的解答更加容易。比如該例題中，首先需要利用數(shù)形結(jié)合法，將函數(shù)|x2+3x|的圖像繪畫出來(lái)，然后，根據(jù)a>0，列出a與x的關(guān)系式。將t賦值為x-1，用t的關(guān)系式表達(dá)a。根據(jù)t+4/t的取值范圍，確定t+4/t+5的范圍。最后，結(jié)合函數(shù)圖像，得出a的取值范圍。

4結(jié)論

為了將劃歸思想更好的應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，本文將高考函數(shù)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想作為主要研究?jī)?nèi)容，在對(duì)高考函數(shù)試題考察重點(diǎn)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，從數(shù)形間轉(zhuǎn)化法、將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀問(wèn)題、不規(guī)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)則問(wèn)題、將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題、轉(zhuǎn)化與劃歸思想在試題中的體現(xiàn)等方面做出系統(tǒng)探究。研究結(jié)果表明，高考函數(shù)數(shù)學(xué)中函數(shù)的最值、單調(diào)性、恒成立等問(wèn)題，都是可以用劃歸思想進(jìn)行解答的。在未來(lái)，還需進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)轉(zhuǎn)化與劃歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究，為學(xué)生提供更快更清晰的解題思路。

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