由一道高考試題的一題多解淺談微專題教學設計

孫寶金 李翠玲

(遼寧省朝陽市喀左蒙高中 122300)

一、問題的提出

題目已知拋物線C:y2=2x，過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓

(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設圓M過點P(-4,2)，求直線l與圓M的方程.

這是2017年全國統一考試·丙卷(全國卷Ⅲ)理科數學第20題.本題直線與拋物線的位置關系、直線與方程、圓的方程，意在數形結合思想和化歸與轉化能力，難度適中，可以很好地考查學生的平面解析幾何的基本素養.

二、問題的探究

1.基本解法的探究

筆者在審視這道高考試題時，發現可以從三個視角完美解決這道試題.

視角一：“斜率乘積為-1”

設出l的方程，通過聯立方程，證明直線OA與OB的斜率之積為-1.

(1)設A(x1,y1),B(x2,y2)，l:x=my+2.

所以OA⊥OB,故坐標原點O在圓M上.

(2)略

所以坐標原點O在圓M上.

(2)略

視角三：點與圓的位置關系

由已知可求圓的方程，再把O(0,0)代入滿足圓的方程，即得證.

所以⊙M方程(x-m2-2)2+(y-m)2=(m2+2)2+m2.把點O(0,0)代入檢驗滿足⊙M方程，所以坐標原點O在圓M上.(2)略

2.為了進一步讓學生理解，可以對此題進行一些變式，以便學生對此類方法的理解更加深刻

這樣的“微專題”教學，培養了學生思維的廣闊性，提高了學生的應變能力.關于目標意識，解題時，一要通過審體明確題目要求我們做什么，二要根據題干及結論的特點，弄清楚我們已知了什么.這樣，當學生用常規思路解決問題而思維受阻時，就會嘗試從結論出發或通過不同渠道去解決.

3.微專題設計及教學中教師角色

微專題設計以學生為中心，針對學生的知識漏洞設計成專題，學生在學習過程中具有更多的主動權，但這并不意味著學生可以完全離開教師的指導進行探究.事實上，在整合的過程中，教師要扮演內容呈現者、學習幫助者和課程設計者等多重角色，教師要在對學生的學習控制和學生的自主活動之間達到一種平衡狀態.不斷引導學生的思維，幫助學生順利穿越“最近發展區”，獲得進一步的發展，使得學生根據實際的需要尋找或構建支架支持思維能力的提高.

4.微專題具有很強的實用性、可操作性

從學生實際出發，針對學生的疑難點及解題方法的歸納，切實幫助其解決實際問題.此時教者對學情及例題難度的把握尤為重要，過難過易對學生的發展都是無益的.教師可以利用變式訓練和問題引申設計來編制微專題，教學中，通過設置“典型例題——一題多解——變式訓練”來完成微專題，這樣可以達到“由點到面的爆炸式復習”.另外，微專題教學可以使學生，從各個不同的方面聯系所學知識，形成橫向、縱向的知識網.經過這樣“深加工”，學生在解決問題時才能舉一反三，游刃有余.

三、微專題實踐反思

教學中的“微專題”復習與大專題復習不是相互對立、互不兼容的兩種復習方式，二者是相互滲透，互為補充的關系.一方面“微專題”積少成多，能對大專題的自然生成起到一定的補充和完善作用；另一方面，大專題的落實需要更多有效的“微專題”進行滲透、強化.所以充分發揮微專題的問題集中、操作靈活、指向性強以及更容易解決具體問題等優勢，將使得大專題復習實而不空，深而不偏.總之“微專題”復習能有效地幫助學生解決現實問題；同時教師在研究實踐中不斷學習、思考、分析，尋找出路，并能有所啟發和創新，這對于教師自身的成長是有益的.

參考文獻：

[1]李寬珍.基于目標意識解題的微專題教學——由一道模擬題談開去[J].數學通訊,2017(4)：26-28.

[2]邱慎海.對一道全國高中數學聯合競賽題的探究[J].數學通訊，2017(4):58-61.