《數學分析》中的形象思維和嚴格推導

朱朗峰

摘 要 《數學分析》是現代數學的基礎理論之一。在《數學分析》的教學中，培養學生的形象思維能力和嚴格推導能力是非常重要的兩個方面。本文通過一些典型的例子，討論了形象思維和嚴格推導在《數學分析》的教學中的重要作用以及這兩者之間的緊密關系。

關鍵詞 數學分析 形象思維 嚴格推導

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

0引言

《數學分析》作為大學數學的一門基礎課程，面向對象是所有數學專業一年級和二年級的學生。開設這門課程的目的在于提高這些學生的數學基礎水平，幫助他們實現由中學數學到大學數學的跨越，為他們進一步深入學習或研究現代數學理論奠定基礎。大學一二年級的學生只有先學好了《數學分析》等基礎課程，才能學好大學高年級的分析課程，比如《實變函數》，《復變函數》，《泛函分析》，《數學物理方程》等。更進一步地，對有志于在數學學科繼續學習深造的學生來說，應該對《數學分析》等基礎課程有更透徹的理解和掌握。正是由于《數學分析》這門課程在大學數學教學中有著如此重要的地位，所以任課教師在給學生講解這門課程時，僅僅將知識內容講清楚是不夠的，更為重要的是，還要培養并提高學生思考問題的能力，尤其是形象思維能力和嚴格推導能力。本文根據作者的教學經驗，并結合一些教材以及文獻資料中的典型例子，來談談在《數學分析》這門課程的教學中，形象思維和嚴格推導這兩個方面的重要作用以及它們之間的關系。

1形象思維有助于理解和記憶數學知識

《數學分析》這門課程中有大量的公式、定理和理論推導，初學者容易感覺這門課程比較復雜和枯燥。所以任課教師在教學上應增加數學的趣味，將看似枯燥復雜的內容與有趣簡單的知識聯系起來。任課教師可以通過恰當的運用形象思維的方法給學生以幾何直觀，便于他們理解和記憶這些內容。

例如，在《數學分析》教材中在講到數項級數收斂的Abel判別法和Dirichlet判別法時，會用到如下的公式。

分部求和公式：設uk， mk （k = 1， 2， ···， n）為兩組實數，若令

Mk = m1 + m2 + … + mk （k = 1， 2， …， n），

則有如下分部求和公式成立：

u1m1 + u2m2 +… + unn-1mn-1 + unmn

= （u1 u2）M1 + （u2 u3）M2 + … + （un-1 un）Mn-1 + unMn.

對于分部求和公式的證明，我們可以用

m1 = M1， mk = Mk Mk-1 （k = 2， 3，…， n）

代入公式左邊，通過計算推出等于公式右邊。如果任課教師只講到這里就不再繼續解釋，學生可能會認為這個公式需要死記硬背才能記住，這就沒達到較好的教學效果。事實上，認真觀察后不難發現，這個公式可以通過形象思維的方法來做進一步解釋。下面以n = 4為例來談談形象思維的方法。

不妨假定uk， mk均為正數且uk是嚴格遞減的。在直角坐標系中畫出圖1。不難發現，分部求和公式的左邊等于圖1中分別以u1， u2， u3， u4為高，M1， M2 M1， M3 M2， M4 M3為底的四個矩形面積之和，從而等于圖1中整個圖形的面積，這是一種沿x軸做分割然后再求和的方式。我們可以再考慮另一種求和方式，即沿y軸做分割然后再求和來計算圖1中整個圖形的面積。不難發現，這樣計算出的面積等于分別以u1 u2， u2 u3， u3 u4， u4為高，M1， M2， M3， M4為底的四個矩形面積之和，正好等于分部求和公式的右邊，從而在一定程度上驗證了分部求和公式。做了這樣的幾何直觀上的解釋后，分部求和公式就變得比較有趣和自然，從而便于理解和記憶。

圖1

通過形象思維來幫助理解記憶公式定理的例子還有很多，下面我們再舉一個例子。

在《數學分析》教材中有如下關于閉區間上連續函數性質的定理。

零點定理：如果實值函數f在閉區間[a， b]上連續，且f（a）與f（b）異號，那么在開區間（a， b）內至少有一點c使得f（c） = 0。

因f（a）與f（b）異號，不妨假定f（a） > 0， f（b） < 0。如圖2所示，函數f在直角坐標系下的圖像可以看成是連接（a， f（a））與（b， f（b））兩點的連續曲線（當然，此曲線還要滿足與任意平行于y軸的直線至多只有一個交點）。零點定理的含義可以通過形象思維的方式大致理解為：如果（a， f（a））與（b， f（b））這兩點被x軸隔開，那么任意連接這兩點的連續曲線不可避免地要與x軸相交。

圖2

2形象思維可以對嚴格推導起到啟發作用

我們通過舉例來說明這一點。

在《數學分析》教材中有如下判定正項級數收斂或者發散的方法。

積分判別法：設實值函數f為區間[1， +∞）上非負減函數，那么正項級數f（n）與反常積分f（x）dx同時收斂或者同時發散。

任課教師在講解這個判別法的嚴格證明之前，可以先大致畫出f的圖像，引導學生通過形象思維的方式來分析一下這個判別法。如圖3所示， f的單調遞減的假定使得f的圖像在閉區間[n，n+1]圍成的圖形覆蓋了以閉區間[n，n+1]為底以f（n+1）為高的矩形，且被以閉區間[n，n+1]為底以f（n）為高的矩形覆蓋。根據積分的幾何意義，反常積分f（x）dx等于由f的圖像、直線x = 1和x軸所圍成的圖形的面積（我們把這個面積簡記為S）。從圖像上可以比較容易看出，S應該小于或等于以閉區間[n， n+1]為底以f（n）為高的矩形的面積對正整數n求和，并且S應該大于或等于以閉區間[n， n+1]為底以f（n+1）為高的矩形的面積對正整數n求和。從而我們可以大致判斷出正項級數f（n）和反常積分f（x）dx是同時收斂的或者同時發散的。

圖3

通過上面所講的圖像上的觀察分析，我們可以相應地寫下如下嚴格的數學證明：

對任意的正整數k，定義Sk=f（x）dx且定義Tk=f（n）因為f為非負函數，所以數列Sk和Tk均是非負遞增數列。再由反常積分收斂和無窮級數收斂的定義以及數列的單調有界定理可知：反常積分f（x）dx收斂等價于數列Sk有界，正項級數f（n）收斂等價于數列Tk有界。又因為f為減函數，所以對任意正整數n有

f（x）dxf（n+1）dx=f（n+1），

f（x）dx≤f（n）dx=f（n）。

由上面兩個不等式對n = 1， 2， …， k求和可得，對任意的正整數k有

Tk+1f（1）≤Sk≤Tk

所以數列Sk與Tk同時有界或同時無界，從而嚴格證明了積分判別法。

上述嚴格推導正是通過觀察圖像受到啟發而得到的，是形象思維的嚴格數學化。

3嚴格推導往往用于正面論證，形象思維往往用于思考反例

我們來看下面的例子。在《數學分析》教材中有如下函數列一致收斂時的性質定理。

連續性定理：若區間I上的連續函數列{fn}（n為正整數）在區間I上一致收斂，則其極限函數f在I上也連續。

我們先來看看這個定理是如何通過嚴格推導的方式進行論證的。它的證明可以用反證法，推導如下：

假設這個定理不正確，即區間I上存在一點x0使得極限函數f在x0點不連續。那么存在正數C以及區間I中的數列{xk}（k為正整數）以x0為極限，使得對任意正整數k均有

| f（xk） f（x0） | > 3C.

由于{fn}在區間I上一致收斂于f，從而存在正整數m使得對任意正整數k均有

| fm（xk） f（xk） | < C

并且有

| fm（x0） f（x0） | < C.

由上述三個不等式可推知，對任意的正整數k均有

| fm（xk） fm（x0） | > C.

由于當k趨于+∞時xk收斂于x0，故上式與函數fm在區間I上連續矛盾，從而假設不成立，定理得證。

上述嚴格推導非常簡潔而且切中要害，給出了定理的證明。任課教師在講解證明時需要講清定理中的條件用在哪里，比如，函數列的一致收斂性用于論證第二個和第三個不等式，函數列的連續性用于說明第四個不等式不成立。除了講清楚定理證明之外，任課教師還應該讓學生積極去思考定理中的條件是否是必需的。例如，可以讓學生思考這么一個問題：將上述連續性定理中的“一致收斂”改為“收斂”后得到的命題是否成立？

我們可以通過形象思維構造收斂但不一致收斂的例子來思考這個問題，詳情如下：

函數列{fn}在區間I上一致收斂于f的幾何意義是當正整數n充分大時，fn的圖像在f的圖像上下平移充分小的范圍內。那么可以通過如下方式選取{fn}和區間I，使得{fn}在區間I上并不一致收斂于其極限函數。可以令I = [0， 1]，定義fn（x） = nx + 1于區間[0， 1/n]且定義fn（x） = 0于區間（1/n， 1]上（fn的圖像如圖4所示）。顯然{fn}是區間I上的連續函數列，且在x = 0處收斂于1，在區間（0， 1]上收斂于0，從而{fn}在區間I上收斂于一個不連續的函數f（定義f（0） = 1且定義f（x） = 0于區間（0， 1]）。由圖4不難看出，fn的函數值在x非常靠近0時非常接近1，從而不論n多么大，fn的圖像不可能在f的圖像上下平移充分小的范圍內，這說明fn并非在區間I上一致收斂于f. 極限函數f的不連續性說明，將上述連續性定理中的“一致收斂”改為“收斂”后得到的命題并不成立。

從以上討論可以看出，對于有些問題的處理，可以比較容易地通過形象思維的方式構造出反面的例子，從而可以加深學生對正面的結論的理解。

圖4

4嚴格推導在《數學分析》的教學和研究中起最根本的作用

從前面幾節對形象思維以及嚴格推導的討論中可以看出，在《數學分析》這門學科的教學和研究中，雖然形象思維提供了一些直觀理解，發揮了一些巧妙作用，但是從根本上來講，形象思維的作用是一種輔助性的，嚴格推導的作用才是最為根本重要的。數學理論是建立在嚴格推導的基礎之上的，我們只有進行嚴格的數學推導，才能擁有步步為營的扎實基礎，這樣才能學得深、走得遠。在本節中，我們再通過一個著名的例子來強調嚴格推導在《數學分析》這門學科中的重要性。

我們來看這樣一個問題：是否存在一個定義在實數軸上的處處連續但處處不可導的實值函數？

這個問題若通過畫函數圖像來判斷的話，往往會認為答案是不存在。在研究和發展《數學分析》的理論的歷史上，曾經有許多數學家認為除了少數點外，一個定義在實數軸上的連續實值函數的圖像在大多數點處都應該有切線（從而這個函數在大多數點可導）。實際上，這種基于圖像直觀的形象思維的判斷是不正確的。在1872年，數學家Weierstrass構造了一個定義在實數軸上的實值函數，并證明了這個函數處處連續但處處不可導。他構造的函數是

f（x）=ancos（bn x），

其中假定b為奇數且

01+

在1916年，數學家Hardy改進了這個例子中對a與b的限制條件，只需要假定

0

即可，其中不需要b是整數。這個例子很好地說明了形象思維的局限性以及嚴格推導的重要性。對這個例子的嚴格推導證明有興趣的讀者可以讀讀參考文獻[4]。

5結束語

綜上所述，形象思維和嚴格推導在《數學分析》的教學中都有著重要作用并且在一定程度上是緊密相連的。形象思維具有簡潔性、啟發性和輔助性，在《數學分析》的教學中不可忽視，而嚴格推導具有系統性、嚴密性和深入性，在《數學分析》的教學中起最根本的作用。因此，任課教師在教學中一方面要注重培養學生的嚴格推導能力，另一方面要讓學生學會運用形象思維來輔助嚴格推導，從而才能達到較好的教學效果。

參考文獻

[1] 陳紀修，於崇華，金路.數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出社，2004.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] Hardy，G.H.Weierstrasss non-differentiable function [J]. Transactions of the American Mathematical Society， 1916， 17（03）： 301-325.