對一道例題的反思

張 冰

（陜西省西安交大附中 陜西西安 710048）

在高中數學實驗教材（北師大版）選修2-2《導數的幾何意義》中介紹了一道例題，課堂上講解這道題目之后，又有了很多想法和反思，現將課后對這道題目的反思記錄下來，希望對今后的教學有所啟發。

1.例：已知曲線

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求曲線過點處的切線方程。

解：（1由曲線的幾何意義，曲線在點處的切線的斜率是

所以曲線在點處的切線方程為：

即：

（2）曲線過點處的切線可能（1）P是切點；（2）P不是切點

當P是切點時，即第（1）小問的情形，曲線在點處的切線方程為：

當P不是切點時，假設切點為

這時曲線的切線方程為：

通過圖像可以驗證曲線過點P的曲線確實有兩條。

課堂的例題分析、講解是結束了，在課后回顧這道例題的時候，突然想到是否對任意的一條三次曲線，過曲線上任意一點都是有兩條切線嗎？

對于三次函數過曲線上任意一點作切線，切線的情形如何？

因為以點P為切點的切線一定存在，切點不是點P的切線是否一定存在？

假設切點由點Q在曲線上，

得：

又，點Q在切線上，切線PQ的斜率

由導數的幾何意義可得：

所以，

當時，點Q與點P重合，過點P有且只有一條切線；

當?≠0，即時，過點P的切線有兩條，切點分別是點P和點Q。

所以，如果，過點P的切線有且只有一條，否則有兩條切線，切點分別是點P和點Q。另一方面，正好也是的對稱軸，這樣進行判斷時就很容易了。

有什么特別的意義嗎？

我們知道是以為中心的中心對稱圖形，也是中心對稱圖形嗎？其對稱中心又是什么呢？

設函數的對稱中心為

按向量將函數的圖像平移，則所得函數是奇函數。

所以

化簡得：

上式對恒成立，有

以上證明告訴我們：函數是中心對稱圖形，其對稱中心為：

，該點在其導函數：

的對稱軸上。

從對這道例題的反思中讓我更加體會到了教學的樂趣，一天的課下來，在無人的時候，翻著自己的教案，重溫課上的每一個細節，什么地方精彩，什么地方失敗，哪一句話引起了學生的共鳴，什么地方調動了學生的積極性，再對教案進行更進一步的修改，同時記錄下課上的一些突發奇想，某個靈感或突然間悟到的一種更好的調控課堂的方法，與學生溝通的方式等。時間一長，就發現自己對這些看似雞毛蒜皮的課堂細節的總結，在不知不覺中形成了自己獨特的教學風格。但細節每堂都有，總結每天進行，收獲樂趣多多。