不可輕視求根公式

劉蘭芝

（云南省玉溪市教科所 云南玉溪 653100）

求根公式不僅在初中的數學教學中有了舉足輕重的地位與作用，而且在高中的數學中也有不同尋常的作用。不少高考題的解題過程中都離不開它，非它莫屬，下面我們一起看看求根公式在解高考題的過程中的作用。

一、解一元二次方程（解析幾何題）時的應用

例1.（2008?陜西卷）雙曲線的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30o 的直線交雙曲線右支于M點，若MF2垂直x軸，則雙曲線的離心率為

[解析]∵MF2垂直x軸，

[評析]在解一元二次方程時用到了求根公式，并且解此方程只能用求根公式來解。

二、解指數方程時的運用

例2.（2008?上海卷）已知函數

（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；

（Ⅱ）若對于恒成立，求實數m的取值范圍。

[解析] （Ⅰ）當x＜0時，f（x）=0，不符合題意。

當x≥0時，

利用求根公式求得

[評析]在解一元二次方程時只能用求根公式來解。

三、解三角方程（解析幾何題）時的運用

例3.（2007?廣東卷）在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓C與直線y=x相切于坐標原點O。

橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）試探究圓C上是否存在于異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段 OF 的長。若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由。

[解析]（Ⅰ）設圓C的圓心為（m，n）， 則

解得m=-2， n=2。故所求圓的方程為

（Ⅱ）因為a=5，故橢圓為

又 F（4，0），假設存在Q點

使

則

得有

由求根公式得因此，不存在符合題意的點Q。

[評析]方程的求解須依靠求根公式。

四、解二元二次方程（集合題）時的運用

例4.（2004?全國Ⅱ卷）設集合則集合中的元素個數為（ ）

A.1 B. 2 C.3 D.4

[解析]由方程組

解之得

從而有兩解，所以，集合中的元素個數為2個，故選B。

[評析]本題也可以用圖象法解，即作圖后圖中有兩個交點。在解一元二次方程時少不了求根公式。

五、求f′（x）=0的根（函數的單調性）時的運用

例5.（2008?全國Ⅰ卷）已知函數

（Ⅰ）討論函數的單調區間；

（Ⅱ）設函數f（x）在區間內是減函數，求a的取值范圍。

[解析]（Ⅰ）

⑴當△＞0時，4（a2-3）＞0，即或時，由f ′（x）=0

解得兩根為則 ①x在

函數f（x）是增函數；②x 在

f ′（x）＜0，f（x）是減函數;③x在

f ′（x）＞0， 函數f（x）是增函數。

⑵ 當△＜0及△=0時略。

[評析]在解方程f ′（x）=0時，再次展現了求根公式的特殊功能。

從上面的考題中可以看出，不少的題解答都要用到求根公式，并且許多高考題必須用求根公式方能解答，所以，對求根公式應該

記牢、熟用，達到運用自如，熟能生巧，熟能生思的狀態，才有利于提高解題效率。