旋轉體體積的探討

（北京理工大學珠海學院 廣東珠海 519088）

引言

許多微積分[1]～[5]教材只給出了繞x軸或繞y軸旋轉的旋轉體體積，這具有局限性。本文研究了繞任意直線y=kx+b和繞極軸旋轉的旋轉體體積，推導出對應的旋轉體積公式。

一、直角坐標系下的旋轉體體積

定理1：光滑曲線段y=f(x),x1≤x≤x2繞直線y=kx+b旋轉一周所得的旋轉體體積為：

特別地，當k= 0 ,b=0時，

證明：光滑曲線段任意一點(x,f(x))到直線y=kx+b的距離為：

即為旋轉曲面橫截面的旋轉半徑，橫截面元素的高：

其中θ為該直線的傾斜角。該旋轉曲面對應的元素體積為

例1 求y=x2與y=x+2圍成的圖形繞直線y=x+2旋轉一周所得的旋轉體體積

解：y=x2與y=x+2的交點是(-1,1),(2,4)，由定理1可知，所求旋轉體體積

例2[1]求y=x2與y=x+2圍成的圖形繞直線x=3旋轉一周所得的旋轉體體積

解：方法一：

y=x2與y=x+2的交點為(-1,1),(2,4)，取典型區間[x,x+dx]，則其對應元素體積可看作長為2π(x+ 2 -x2)，寬為3 -x，高為dx的長方體，由此對應元素體積為dV= 2π(x+ 2 -x2) (3 -x)dx；故

方法二：

y=x2與y=x+2的交點是(-1,1),(2,4)，取典型區間[y,y+dy]，則當0≤y≤1時，對應體積元素為

當1≤y≤4時，對應體積元素為

故

二、極坐標系下的旋轉體體積

定理2：光滑曲線段r=r(θ) ≥ 0 ,0≤α≤θ≤β繞極軸旋轉一周所得的旋轉體體積為

證明：記在[α, θ]的曲邊扇形繞極軸旋轉一周的體積為V(θ)，則：

故體積元素

例3 求心形線r=a( 1 - c o sθ) ,0 ≤θ≤π繞極軸旋轉一周所得的旋轉體體積

例4 求伯努利雙紐線r2=a2c os2θ, 0 ≤θ≤π繞極軸旋轉一周所得的旋轉體體積。

解：由定理2得

[1]賈曉峰,孫洪波,賈云濤.微積分與數學模型(第三版)[M].高等教育出版社,2015.9.

[2]韓云瑞，扈志明.微積分教程[M].清華大學出版社,1999.9.

[3]同濟大學數學系.高等數學(第7版)[M].北京:高等教育出版社,2014.7

[4]GerogeBThomas.Thomas’Calculus.(11thEdition).PearsonEducation,2004.

[5]JamesStewart.Calculus(8thEdition).McMasterUniversityandUniv ersityofToronto,2015.