配極理論在圓錐曲線中的應用

劉 悅

（黑龍江省綏化市青岡縣永豐鎮中學校 黑龍江綏化 151600）

配極理論是以二次曲線性質為基礎，逐步形成的理論體系.其系統歸納總結的二次曲線各類性質定理，為中學幾何的相關證明，提供了重要理論基礎，在解決實際問題上有很好的指導作用，配極理論在二次曲線的學習研究中，系統的闡述了二次曲線一些點和線的關系，以定理的形式歸納得出。

眾所周知點共線和線共點問題在中學幾何中的常見問題.將配極理論反作用于圓錐曲線，解決中學幾何圓錐曲線中的點共線和線共點問題。

一、橢圓中的點共線和線共點A

例1 已知橢圓 的內接三角形△ABC，過，B，C三點分別作橢圓的切線得?A′B′C′，取任一點S，連結AS，BS，CS，其與對邊交點分別是A1，B1，C1.證明 三直線A′A1，B′B1，C′C1交于一點

證 如圖1-1所示

∵點S三角形頂點的連線AA1，BB1，CC1交的交點

由題意知u、v、w三點共線

又因為u在A′的極線BC上

∴點A′與點u共軛；

在完全四點形中∵R（b，c；a1u）=-1，

∴A1與u共軛，從而A1A′是u的極線

由共點線的極點必共線，共線點極線必共點可知：A1A′，B′B1，C′C1共點

二、拋物線中的點共線和線共點

例2 證明拋物線的任何方向的平行弦的重點在一直線上，并由此推出這些直線是平行的。

證 設無窮遠直線ξ∞與拋物線Γ相切于點O∞，取過點u∞的一組平行弦分別為ab，a′b′...弦的中點分別是m，m′...

由題可知，R（a，b；m，u∞）-1，R（a’，b’:m;，u∞）

∴m，m′在u∞的極線η上，根據配極原則知η必過O∞點

同理，過點V∞的一組平行弦，則V∞的極線T為它的中點軌跡，并有T也過O∞點

∴η∥T

從上述各例可以看出，把配極變換應用于圓錐曲線有關的問題是方便的，當然配極變換的應用并不僅僅限于上述幾個方面，有待我們繼續探討。

三、圓的點共線和線共點

例3 過兩定點P，Q，分別作圓的兩對切線PA，PB，QC，QD，（其中P，Q為圓外兩點，A，B，C，D是切點）設AC×BD，AD×CB=R

試證：P，Q，R，G在一條直線上。

證明 如圖3-1，令AB×CD=E，并有點P和點Q的極線分別為直線

AB，CD.

∵AB，CD過點E在，∴根據配極原則可得，點E的極線是PQ

∵ABCD是圓的內接四邊形

∴△GER是自配極三點形，E的極線是RG

∵任一點關于同一個圓的極線只有一條

∴直線PQ與RG重合，故P，Q，R，G四點在一條直線上

在配極理論的學習中我們引入了極點與極線等相關的定義，我們將運用高等幾何中這些理論，通過實例來講述在中學幾何中常見的平分線段和角平分的問題。利用配極理論中所學知識，通過實際例題來解決中學幾何中常見的角平分和平分線段問題。

四、雙曲線中的角平分線和平分線段

例4 若雙曲線的任一條切線與兩條漸近線交于兩點，證明切點為這兩點所連線段的中點。

證 令直線ξ為雙曲線Γ的任一切線，m為切點.如圖4-1所示

ξ與Γ的兩條漸近線的兩交點為u，v

由已知，ξ的極點是m

∵ξ上的無窮遠點m∞，他的極線過直線m和中心c

∴直線cm是m∞的極線

過c作cn∥uv，cn通過m∞，即cn，cn是Γ的一對共軛直徑

因為Γ的漸近線調合分離任一對共軛直徑

∴R（u，v，m，m∞）-1，也就是（uvm）=-1

因此，線段uv的中點是m

例5 試證明：雙曲線的切線被雙曲線的漸近線所截線段的中點為切點

證明 如圖4-2所示，是按解析幾何的觀點所作，如圖4-3所示，是按射形幾何的觀點所作。

設兩條漸近線分別直線a，b，點p為雙曲線的任意一有限點，點p處的切線為l

直線l∞與切線f交于點C∞，a，b與切線f的交點分別為A，B

聯結O，P，得OP×l∞=D∞，因l∞為中心O關于曲線 Γ 的極線，且l∞過點D∞，故D∞的極線必過點O，又由點p對應的極線為f，又由于點c∞在f上。

故C∞的極線必過P，而點C∞關于曲線Γ的極線正好是曲線的直徑d（可看成一組平行弦RS，A∞B∞，AB...等均過C∞）。

由此可得，關于曲線Γ的自配極三角形是△OC∞D∞，（A∞B∞，C∞D∞）=-1.也就是（ab，dc）=-1.∴（AC，PC∞）-1

即（ABP）=-1，即AP/PB=-1.∴AP=PB

由圖4-3，也可得到A’R=SB’

∵AP=PB，曲線Γ的自配極三角形為△OC∞D∞，

∴（AB，PC∞）.所以有能得，（A’B，MC∞）=-1

∴A’M=MB’.又因為D為C∞的極線

∴（RS，MC∞）=-1，RM=MS，故A’R=SB’

五、涉及圓的角平分線和平分線段

例6 過點P，圓的兩條切線PA，PB（A，B為切點），且過P作一直線平行于圓上點Q的切線，分別交QA于點E、F，證明 EP=FP（圖5-1）。

證明 AB為點P關于圓的極線，設點X為AB與過點Q切線的交點

∵點X在點P的極線AB上

∴點P在X的極線上.又點X在Q的切線上

∴Q在X的極線上，因此由極線的定義得（AB，YX）=-1

又∵EF//QX，直線EF截調和線束得（EF，PX∞）=-1

∴點P是線段EF的中點，故EP=FP

例7 從⊙直徑AB延長線上一點E引一直線切圓于D，過點A做圓的切線交ED于P，作DC⊥AB垂足為點C，連結PB與DC的交點為M，求證DM=MC（圖5-2）。

證明 因為PE為⊙O的切線.D為切點，則PE為D點關于⊙O的極線

又點D在點E關于圓的極線上，DC⊥AB

DC為點E關于圓的極線

所以（AB，CE）=-1.即

而DC//PA，則AC/AE=-BC/BE AC/AE=PD/PE

故由題意DCE和截線PMB得

即，故DM=MC

幾何在數學專業中扮演了很重要的角色，高等幾何作為其中一門必修課程也體現其重要性，我們現階段學習高等幾何主要是以放射幾何為主。主要目的是提高學生的邏輯辯證和空間構造能力。配極理論是其中探索空間最具潛力的一個理論體系。注重理論結合實際是學習高等幾何的一大技巧。理論是認識的基礎，實踐是理論的升華，而應用則是最終目的。