探索中學數學對配極理論的運用

姜廣紅

（黑龍江省綏化市青岡縣哈爾濱師范大學青岡實驗中學校 黑龍江綏化 151600）

中學幾何中爻于點共線及線共點的、角平分及平分線段、體積、求動點軌跡、數學模型構造作圖等問題，能運用高等幾何方法去解決。這對于開闊解題的思路，提高解決問題的能力是十分有益的。本文聯系中學幾何的具體問題，探索配極理論所學的相關知識對一些中學幾何命題的運用，并通過實例應用的配極理論探索解決中學幾何中體積、求動點軌跡、數學模型構造作圖等問題。

一、中學面積及體積問題對配極理論的運用

隨著深入學習，漸漸的我們發現，在中學幾何的體積問題中，運用配極理論也能便捷的解決一些問題。根據配極中自配極的一些現成定理，我們通過實例來探討配極理論在中學幾何中體積問題的運用。

例1 用配極理論證明，過一點做雙曲線的兩條切線與漸近線所圍成的三角形為等面積三角形

證 如圖1-1所示，雙曲線Γ的兩條漸近線分別為ξ1，ξ2，uv和u′v′是Γ的兩條切線，它們與ξ1，ξ2分別組成?ouv和 ?ou′v′

∵ξ1，ξ2，uv′，u′v′組成了的完全四線形，又三條對頂線uv′，u′v，ow組成一個自極三線形

因為ow是Γ的直徑，uv′與u′v′的交點是它的極點，這個交點又在無窮遠直線上

∴uv′//u′v′，S?n′v′v=S?nvu′，S?n′v′v+S?ou′v=S?uvu′+S?ou′v

故S?ouv=S?ou′v′

二、點軌跡問題對配極理論的運用

談到軌跡問題，我們一定不會陌生.怎樣快速的找到一個動點的軌跡規律，找出軌跡方程是我們中學學習的重中之重。這一章我們將利用高等幾何中學習的配極理論來探討一下關于中學軌跡的別樣求法。

例2 若A，B兩點為橢圓上的每條切線與圓x2+y2=25交點，m為過A，B關于已知圓的切線的交點，求m的軌跡方程。

解 若為橢圓上任一點，由題意可知過m0的橢圓切線方程為

它的射影坐標方程是

根據題意，m0的射影方程即為點m關于圓的極線

設m的射影坐標為(x1′,x2′,x3′)，則有

解得

由此可知m0的射影坐標是

∴m0的坐標是

所以得將其代入方程得

即m0的軌跡為一個橢圓。

例3 作拋物線y2=6x的切線，過點（8，13），求其切線的軌跡方程。

解 由題

即為切點

故所求方程為3x?2y+2=0或x?8y+96=0

其中Sp=0即為點P(8,13）關于拋物線的極線方程。

三、中學作圖問題對配極理論的運用

學習數學，數學模型的快速構造是我們基本技能之一，學習好這一基本技能對于我們快速的解決一個實際問題將有不可替代的作用。

我們將以配極理論所學，通過實例闡述配極理論對于作圖的應用

例4 以直尺作圓外定點的切線解析

作法 如圖3-1.設O及圓外一點P，過P點任做二割線分別交圓于A,B和C,D四點；

連結AC與BD交于點M，連結AD與BC交于點N，連結MN與圓交于X,Y兩點；連結PX，PY，得PX和PY即為所求切線。

證明 因四邊形CABD為圓的內接四邊形，則定義得，PMN為自極三角形。從而P點關于圓的極線為MN。又因MN通過圓上兩點X,Y，由題意知X,Y關于圓的極線都通過P點。又根據性質，PX，PY分別為X，Y關于圓的極線，亦為圓在X，Y處的切線。

例5 以直R作出過橢圓外一點關于橢圓的切線

解 我們知道解決此類問題的關鍵點是找到切點。根據配極原則可知，交點為圓錐曲線外一點關于曲線切線的切點是此點的極線與圓錐曲線的交點，所以根據自配極三點形的概念，作圖如下：

設點P是橢圓外的任一點，經過點P任作PAB和PCD兩條割線交橢圓于點A，B和C，D，并令AC×BD=Q，AD×BC=E，連接QE，與橢圓于點M，N，可得M，N為兩切點

證明 因為橢圓的內接四邊形為四邊形ABCD，?PQE是自極三點形，也即QE為P的極線

也就是說QE與橢圓的兩個交點M，N即為切點

即PM，PN為所求兩條切線

四、中學其他問題對配極理論的運用

我們知道，科學是不斷往前發展的，對于配極理論在中學幾何中的應用遠遠不止這些，需要我們不斷的去努力發現這個規律的更多應用，為人類發展作出更大貢獻。通過收集整理，得到以下一些關于配極理論應用新的方向。

例6 試用配極理論證明三角形的垂心是三角形的三條高的交點

證 作?ABC，以?ABC的外接圓做?ABC的配極三角形TUV，

如圖4-1所示，因為A的極線為UV，所以AP的極點A2與BC的極點T對于點O所成的角是直角.也即∠A2OT=900

于是有A2是過O所作出的OT的垂線與UV的交點，同樣可以作出B2，C2來

由配極原則知，A2，B2，C2應在同一直線上

綜上所述：三角形的垂心是三角形的三條高交點。

例7 試用根據配極理論證明三角形兩邊中點連線與第三邊平行

證明 如圖4-2.設M，N分別是 ?ABC的邊BC，AC的中點，過A，B，C作?ABC的外接圓O的外切?TUV

則由題可知ABC與?TUV互為配極三角形，TV，TU為B，C的極線

由于M在S1=0之上，故T在M的極線上，且M的極線與OM垂直

故∠U的外角平分線為M的極線

又由于，平行直線AB和MN的極線與其垂直

也就是為∠V的平分線，MN的極點是?TUV的一內角平分線與兩外角平分線的交點S

綜上所述：三角形兩邊中點連線與第三邊平行

在學習中，不難發現高等幾何是初等幾何的延伸，其拓展了中學幾何的思維空間，讓我們了解到高等幾何在幾何學中學習的不可取代性，對中學幾何知識和許多問題有了更深入的領會，能從更多的角度思考、更快更便捷的解決問題。學習好高等幾何不但能增強處理初等幾何問題的能力，而且在平時的工作生活中也是培養邏輯思維的一種有效途徑。