枚舉問題例談

趙建峰

摘要：計數總數或種類的趣題，有些因其數量關系比較隱蔽，不容易計數。根據這類題的特點，可以分成五類。前三種法適合于數目、種類不很繁雜的題，后兩種比較適合可能情形及答案較多的題，需分類枚舉的，這是應重點學習掌握的。分析時應盡量做到分類全面、合理、正確，不重不漏，快速、簡捷地思考解答。

關鍵詞：枚舉問題；列舉枚舉；畫圖列舉；標數枚舉；例推枚舉；公式枚舉

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）10-0179-02

在數學問題中，有許多需要計數其總數或種類的趣題，因其數量關系比較隱蔽，很難找到“正統”的列式，讓人感到無從下手。我們可以先初步估計其數目的大小，若數目不是太大，就按照一定的順序，一一列舉問題的可能情況及答案；若數目過大，且問題繁雜，我們就抓住特征，選擇恰當的標準，把問題分為不重復、不遺漏的有限種情形，通過一一列舉或計數、計算，來解決問題。這就是枚舉法，也叫做列舉法或窮舉法。為了便于掌握，根據這類題的特點，我們可以分類如下：

1.列舉枚舉

特點是有條理，不易重復或遺漏，使人一目了然，適用于要求的對象是有限個。

例1：有一張伍元幣，4張貳元幣，8張壹元幣。要取出8元，可以有多少種不同的取法？

分析與解答：如果隨便取出8元，那是比較容易做到的。但要把所有的情況都想到，并且做到不重復、不遺漏，可以按伍元、貳圓、壹元的順序來列表枚舉。

2.畫圖列舉

為了更清楚地表示出可能情形，用畫樹形圖枚舉法，能做到形象直觀，條分理明，簡練易懂。特別適用于找所有的情形與答案。

例2：暑假里，一個學生在A、B、C、三個城市游覽。他今天在這個城市，明天就到另一個城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，問他有幾種不同的游覽方案？

分析與解答：根據游覽要求，第二天可能是B市或C市；若為B市，第三天又可能是A市或C市；若為C市，第四天可能是A市或B市 。 如此考慮，極可能會把自己弄糊涂了。但畫一個樹形圖，則會清晰明了地顯示出所有的游覽方案：

從樹形圖上可以看出：在三個城市游覽，第五天回到A市，只有4種符合要求的答案。

3.標數枚舉

例3：如圖，在中國象棋盤上，紅兵要走最短的距離到對方老將處，共有多少種不同的走法？

分析與解答：紅兵要走最短的距離到老將處，只能向下向右。因此原圖可化簡為圖2，兵走過第一排各點、第一列各點處都是1種走法，在各點處分別標上“1”；經過第二排、第二列各點時，走法則是它前邊相鄰兩點走法的總和依次標數如圖3共得到15種不同的走法。

運用該方法的關鍵，是要找準后面每一點的前面相鄰兩點的數目。

當然，此題還可以這樣考慮：由題意可知，紅兵到對方將處的各條最短的路線中，都必須先后經過兩小橫段與四小豎段。這實際上是他們之間相距最近的不同的組合問題，可得解如下：

C24+2=6×52×1= 15（種）

4.例推枚舉

適用于規律性強，情形較多的題。可以避免許多相似的列舉，簡化解答過程。

例4：從1到100的自然數中，每次取出兩個數，使他們的和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一個較小的數，因此我們可以采用例舉類推法，通過枚舉較小的數的所有可能性來例舉分析，類推解答。

較小的數是1，只有一種取法，即【1，100】。

較小的數是2，只有兩種取法，即【2，99】、【2，100】。

較小的數是3，只有三種取法，即【3，98】、【3，99】、【3，100】……

較小的數是50，有50種取法，即【50，51】、【50，52】……【50，100】。

較小的數是51，有49種取法，即【51，52】、【51，53】……【51，100】。

較小的數是99的只有一種取法，即【99，100】。

因此一共有：1+2+3……+50+49+……+2+1=50^2=2500種。

5.公式枚舉

此法比較適合題目涉及的對象比較富有規律性，且情形繁多，數目很大，不宜用逐一列舉來解。但通過適當的分類，逐一分析后，可利用公式解答。

例5：用5種顏色染方格圖（2×2的），要求每個小格染同一種顏色，相鄰（即有公共邊的）方格要染不同的顏色。有幾種不同的染色方法？

分析與解答：此題可分四步染色：左上角先染色，有5種顏色可選，再染右上角，有4種顏色可選；接著染左下角，如果與右上角同色，則最后一格有4種顏色可選；如果與右上角不同色，則最后一格只剩3種顏色可選.此時不必逐一或分類列舉。可借用乘法、加法原理得到：

5 × 4 × 4 + 5 × 4 × 3× 3 = 180 + 80 = 260 （種）

綜上所述可看出：前三種法適合于數目、種類不很繁雜的題，后兩種比較適合可能情形及答案較多的題，需分類枚舉的，這是應重點學習掌握的。分析時應盡量做到分類全面、合理、正確，不重不漏，以便于簡捷地思考解答。

參考文獻：

[1] 《華羅庚數學金杯賽試題》 單遵的《初中奧林匹克競賽》.