給孩子一個思維支點讓過程性目標(biāo)逐一再現(xiàn)

張鳳仙 湯春生

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。我在教學(xué)植樹問題時，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；植樹問題；經(jīng)驗

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2018）10-0171-01

1.經(jīng)歷解決問題的過程

在處理例1：在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？這一問題時，由放手讓學(xué)生獨(dú)立獨(dú)立解決：當(dāng)有學(xué)生說出學(xué)生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，進(jìn)行質(zhì)疑：“對嗎？請孩子們檢驗一下”，從而引發(fā)學(xué)生的思考。接下來 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題即化繁為簡。

嘗試處理“一條路長20m，在路的一邊每隔5m栽一棵樹（兩端都栽），一共需要栽幾棵？”

這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹

使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹時確定樹苗數(shù)量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時教材進(jìn)一步提出“不畫圖，你知道30m、35m要栽幾棵樹嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡單的問題。

2.體會基本的數(shù)學(xué)思想

在“植樹問題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，課上突出了線段圖的教學(xué)，通過幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。在探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題時，讓學(xué)生通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過這兩幅圖，讓學(xué)生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對應(yīng)起來，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個“點”（樹），所以“栽樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。對于兩端都不栽、一端栽另一端不栽及在封閉曲線上植樹的問題，放手讓學(xué)生通過遷移畫出的線段圖，并講述線段圖的畫法以及線段上的點數(shù)（棵數(shù)）與線（間隔）之間的聯(lián)系，突出“一一對應(yīng)”的思想。

3.感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動經(jīng)驗

在面對封閉圖形中的植樹問題時，首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設(shè)周長是40 m……”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的研究經(jīng)驗──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是進(jìn)一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉(zhuǎn)化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，通過兩位學(xué)生的對話“我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹一一對應(yīng)”“相當(dāng)于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了知識之間的緊密聯(lián)系。

4.追溯植樹問題的根源

到這里不禁要問：植樹問題的本質(zhì)到底是什么？“植樹問題”是研究“樹的棵數(shù)”與“兩樹之間間隔數(shù)”之間數(shù)量關(guān)系的問題，其實質(zhì)是研究點與段的問題。如何讓學(xué)生建立“點段”關(guān)系呢？結(jié)合學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，從除法問題引申出植樹問題。通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩題的比較分析，一來幫助學(xué)生理解這兩道題都是平均分，二來讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段一段地分，而植樹是種在段與段之間的點上。進(jìn)而，讓學(xué)生認(rèn)識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實只是點和段的問題。

整個學(xué)習(xí)的過程，孩子的思維在不斷的跳動，眼、口、手、腦多種感官參與的教學(xué)活動，讓本節(jié)課過程性目標(biāo)有效達(dá)成。課后的3w問題分析，學(xué)生關(guān)于本節(jié)課what的問題、why的問題、how的問題，清晰再現(xiàn)！要讓過程性目標(biāo)真正的落實，課上就要有學(xué)生的真參與、真活動、真思考，3w問題分析表就是檢驗其過程性是否有效落實的有效工具。給孩子一個思維的支點，經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學(xué)生既學(xué)會一些解決問題的一般方法與策略，滲透“猜測──探索──歸納──應(yīng)用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法，從而積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。