立足能力考查 彰顯函數思想 蘊含特色文化*
——北京、浙江近3年數學高考壓軸題(理)比較分析

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(臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

2015—2017年北京市和浙江省的數學高考理科壓軸題(其中2017年浙江省不分文理科，以下簡稱北京卷和浙江卷)都是數列綜合題.試題的設計具有一定的層次性，讓不同能力水平的學生有充分展示實力的機會，同時為滿足不同層次的高校選才提供依據.兩地試題各有特色，差異明顯，筆者就近3年北京卷和浙江卷的6道壓軸題進行分析,并對比北師大版和人教版兩種教材的特點，談談個人的一些感想.

1 回顧試題

1.1 北京卷注重考查閱讀理解能力

北京卷3道題都是信息題，文字信息量比較大，需要考生認真審題，篩選出重要信息.試題注重考查學生對新定義的閱讀理解能力、知識遷移能力.

2016年北京卷第20題的第2)小題要證G(A)≠φ ，只需在G(A)中找到一個元素.如何找？關鍵是對G(A)的理解，G(A)的元素特征為“若i∈G(A),則對一切自然數nan”.由條件知,數列A中至少存在一項ak使得ak>a1，可取離首項最近的一項所對應的元素.

2015年北京卷第20題的第2)小題,只要將“若集合M中存在一個元素是3的倍數，求證M中所有元素都是3的倍數”轉譯為“k∈N*,若ak是3的倍數，則ak+1都是3的倍數;反之也成立”，這樣拉近了結論與條件之間的距離.

這3道題都是在新背景下給出新定義，需要解題者耐心細致閱讀題目中抽象符號的表述，從中獲取有用信息，并進行加工處理，獲得解題方向.試題側重考查閱讀理解能力、嚴謹的邏輯推理能力及對新定義的感知力和敏感度.解法上沒有高大上的技巧，正如李邦河院士所說：“數學玩概念，不是純粹的技巧.”北京近3年的試題文字雖然“長”,但試題質樸厚實，思維簡約,充滿靈性.

1.2 浙江卷注重考查式子變換能力

浙江卷與北京卷相比，題中出現的文字和符號明顯減少，如2016年和2017年每道題只有10個文字，2015年也只有19個文字.試題敘述簡約，通俗易懂，數學符號及式子結構都比較熟悉，不需要考生在理解題意上花較多時間.命題意圖讓學生較快進入解決問題的軌道上，重視對考生解題策略的檢測，尤其注重在式子變換上考查數學思維能力.

然后裂項求和.每次變換都是對式子進行一次“裝飾”，使式子變得更美妙、更有用.此題的思維靈活性體現在不等式放縮上——何時放、何處放、怎樣放.

2016年浙江卷第22題的第1)小題,通過觀察

|an|≥2n-1(|a1|-2)，

2017年浙江卷第22題的第1)小題，移項得

xn-xn+1=ln(1+xn+1),

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤2xn+1,

和

這3道題的解題方法關鍵在式子的適當變形.常用的變換手段有移項、拆項、添項、取倒數，或適當放縮讓式子顯露出成等差和等比，或利用解不等式組和方程思想進行消元.每一步變換都需要考生對式子的結構特征具有較強的洞察力和感知力，變換方法具有一定的靈活性和技巧性,以此檢測考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能.

1.3 注重考查函數思想活用

數列是一種特殊的函數，考數列繞不過考函數.北京卷側重函數思想的考查，浙江卷側重函數性質應用的考查.

如2017年北京卷第20題的第2)小題，在確定b1-na1+(k-1)(d1-nd2)(其中k=1,2,3,…,n)的最大值時，首先考慮自變量是哪個，再探究單調性情況.當d1-nd2<0時，cn=b1-na1；當d1-nd2≥0時，

cn=b1-na1+(n-1)(d1-nd2).

又如2016年北京卷第20題的第3)小題是研究G(A)元素個數與aN-a1的大小關系.對于aN>a1的情形,如何將G(A)中元素個數與數列A中各項建立聯系呢?將G(A)中各元素按n1

2015年北京卷第20題研究集合M的元素特征及個數.若從函數角度審視，{an}的遞推式是一個分段函數，具有“返回”的特征,從第二項起各項是2的倍數，從第3項起是4的倍數,M是函數的值域,且M隨首項的變化而變化.

北京卷這3道題強調了函數本質“數集之間的對應”及數列與函數之間關系的應用.

2017年浙江卷第22題第2)小題的結論轉化為只證“4xn+1-[xn+1+ln(1+xn+1)](2+xn+1)≤0”，此時構造函數，然后利用導數知識得到解決.浙江卷強調的是函數性質的靈活應用.

縱觀北京市和浙江省近3年的數學高考壓軸題，都以數列為背景.北京卷把數列與函數、集合綜合在一起，試題以知識橫向拓展，運算量不大，重在考查閱讀理解能力、函數思想靈活運用能力.每年題型新穎，沒有現成的解題套路，需要獨立思考，打破了套路化.浙江卷的試題都以遞推形式給出數列，研究數列相鄰兩項的大小關系，或探究an,Sn的變化范圍，將數列與函數、不等式知識交織在一起,檢測函數性質的靈活運用能力，通過式子的變換技巧，考查邏輯推理能力和高層次理性思維.北京卷、浙江卷的第3)小題或第2)小題都以前面小題作為鋪墊，各個小題環環相扣，層層遞進,“觀察—探究—發現—驗證”解題思維貫穿在每個問題解決過程之中，充分體現了高考把數學思維方法的考查作為重要任務.

2 比較教材

目前北京市和浙江省的普通高中使用的是人教版教材，在編寫數列這章內容上，北師大版教材與人教版教材(以下簡稱為“北師大版”和“人教版”)存在一定差異：

1)對于章頭言，北師大版通過介紹科學史上一個真實故事，將一列數與天文知識聯系在一起，從它們的數量關系中，提出本章要學習等差和等比數列兩種模型，尤其是對第一個數列各項進行適當調整，得到新數列，發現其結果與大自然運動規律聯系十分緊密，更能激發學生探索各種數量關系的興趣.人教版在大自然植物和日常生活中利息購房貸款等事例中提出本章將要學習的內容.

2)對于概念引入，北師大版通過6個事例抽象出數列概念，而人教版通過三角形點陣和正方形點陣引出數列概念.北師大版所涉及的知識面明顯比人教版更廣闊.

3)在章節內容安排上,北師大版單獨設置了一節：數列的函數特性，給出遞增數列、遞減數列、常數數列規范的定義，并用黑體字呈現，強調數列與函數的關系，這表明北師大版注重數學表達能力的培養.這些要求在北京卷3道試題中都有充分體現.而人教版沒有這一節，不過數列的遞推公式在例題、習題、復習參考題中都有出現，而且教材中將遞推數列名稱特地用藍字進行標注.北師大版不僅沒有出現遞推數列的名稱，而且在例題或習題中沒有一道題目涉及遞推數列.從浙江卷3道試題中也不難看出浙江省數學高考注重遞推數列相關內容的考查.

4)等差數列概念，兩種教材分別從學生比較熟悉的3個或4個事例中抽象概括出定義，通過歸納猜想得出通項公式.對于通項公式與一次函數關系的處理，兩種教材存在差異，北師大版專門設置較長篇幅從函數角度研究等差數列，提到公差是直線的斜率，以及兩點確定直線和兩項確定等差數列的聯系,突出了數列與函數的各種關系.人教版只是在探究欄目中通過數列{an}(其中an=3n-5),讓學生探究與一次函數y=3x-5的關系，并由此推廣到一般情況.

5)對于等差數列前n項求和公式的推導，兩種教材的處理方法基本相同，而對Sn的性質要求存在一定差異，如對an=Sn-Sn-1(其中n≥2)，北師大版僅在習題1.2B組的第5題提出“由Sn=n2+1，求{an}的通項”.而人教版不僅安排了兩個例題研究等差數列前n項和Sn的性質，并在探究欄目設置問題“探究Sn=pn2+qn+r(其中p≠0)與等差數列的關系”，并在等比數列和章小結中也都提到an與Sn之間的關系，這表明人教版比較重視數列性質的縱向深度探究，邏輯推理上偏重于代數式之間的變換.這些思想在浙江卷中有明顯的體現.

6)在章尾處理方式上，兩種教材也存在一定差別，人教版分為兩個部分進行小結，首先以框圖形式直接給出本章的知識結構，然后以問題形式進行回顧與思考本章的主要內容和重要的思想方法，重視以問題為導向的學習方式，培養學生解決問題的能力.而北師大版把本章小結的建議提供給學生，先告知本章的學習要求，然后列出5點復習建議，鼓勵學生自行完成,這表明北師大版比較重視學生閱讀思維能力的培養，倡導自我學習和合作交流相結合.分析表明，北京卷這3道題比較緊扣北師大版，浙江卷這3道題比較貼近人教版.同時，北京卷的試題散發出濃厚的政治文化，看得深、主張多、想得遠,浙江卷的試題散發出濃厚的海洋文化，體現了“變得快、膽子大、想得活”的地方文化氣息.

3 教學建議

3.1 重視數列與函數融合

由以上分析知，這6道壓軸題雖然以數列形式出現，但在處理問題時函數思想貫穿始終.從考生答題情況來看，暴露出學生函數思想與數列的融合能力較薄弱.在數列教學中，不僅在數列概念、等差和等比的通項公式教學時要聯系函數，函數思想還應貫穿在數列教學的始終.如等差數列前n項和公式的教學，多數教師認為數列求和就是計算，把教學重點放在探索運算技巧上，忽視了函數思想的作用.其實求和也可視為求“新”數列的通項公式，可以用求通項公式的方法進行思考，使用歸納猜想探究其和為二次函數形式，也可以從數形結合思想入手.又如一些不太常規數列的通項公式雖然不易求，或不存在，但它可用遞推公式的形式給出，這樣可以從函數的角度去分析、研究數列有關問題.函數思想是數列的靈魂，是學習數列的指路明燈，喚醒運用函數思想的直覺，把數列根植于函數思想，讓數列如魚得水，別讓函數成為一種擺設.

3.2 重視閱讀與問題融合

閱讀能力、思考能力和表達能力是學生的三大核心能力.反觀當下的數學教學，脫離教材現象比較普遍，學生不用數學教科書是常事.主要原因是：上課時教師沒要求學生使用教科書，概念、定理由教師在黑板上抄一下(或放PPT)，學生看著、摘著，公式由教師推一遍，結論學生看著、背著，接下去的所有功夫就在題目上.學生手中只有練習冊、復習講義.即使少數學生讀教材，也只是停留在對本內容的大概了解上，沒有全面去理解，更不會查閱這塊內容的歷史發展過程，學生不僅對知識缺少整體的認識和深度的理解，而且閱讀理解能力被削弱.面對類似北京卷這樣的試題，好多考生存在畏縮心理，或因讀不懂題意就直接放棄.數學的每個知識都有其產生的背景、形成和發展的過程.但在教材中表面上看處于一個靜態,而其背后暗流涌動，蘊藏著人類文明和智慧.

如何培養學生的數學閱讀理解能力？主編劉紹學先生說：“問題使我們的學習更主動、更生動、更富探索性.要善于提問,學會提問,凡事問個為什么.”因此,學習概念要會問“為什么要學習這個知識，它從哪里來，有無與它類似或相聯系的知識”;學習性質、定理要會問“條件和結論是什么，結論和證法怎樣發現的，有無其他證法，能否推廣”;學習例題要會問“為什么要這樣做，怎樣想到這樣做，有無更好的方法，哪些條件可以改變，結論會怎樣改變”;做習題要會問“已知了什么，要我做什么，需要什么，還缺什么，有無其他做法，與熟悉的習題有何區別和聯系”;章小結要會問“整章的知識結構怎樣，有哪些主要的數學思想方法，與各章有什么聯系，本章哪些題目是值得難忘的”.

總之,教師通過精心地組織教學,讓學生主動對知識進行延伸和拓展，通過提、讀、查、議、辯等一系列活動，不斷深入思辨，自己發現問題，尋找問題的答案.這樣不僅實現學會“問”，學會“思”，學會“用”,更有利于培養學生的自學能力和創新精神.

3.3 重視高考與育人融合

高考是為高校選材育人提供重要依據之一，這6道題突出考查了數學思維能力、邏輯推理能力、分析問題和解決問題能力，這也是數學高考的重要任務之一.北京市和浙江省這3年都將數列作為高考壓軸題，考生得分不易.當下教育被功利化對待,勢必有一部分人高考時會放棄這道題，這樣必然導致平時的教學輕視數列.對于少數數學優秀生，他們會花較多時間去做一定難度的數列綜合題,如果高考試題的模式不改變，僅停留在式子變換技巧上，恐怕高考的指揮棒會對數列的教學產生誤導作用.良好的數學教學不僅是要教給學生各種解題技巧，去獲取高考好的分數，更重要的是幫助學生建立科學思維的準則和方法，以及培養邏輯分析問題的能力，讓數學被多數人所理解、所熟悉，而不是被少數人所掌握、所享用.

數列在現實世界中無處不在，與人們的生活息息相關，并且數列又有悠久的發展歷史,因此,數列教學必須做到高考與育人相融合.課堂上要增加時代氣息的素材，滲透數學人文精神,讓新課改的理念在課堂中落地生根.