基于數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的初中拓展性課程的構(gòu)建與實施研究*

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(富陽區(qū)永興學校初中部，浙江 杭州 311400)

1 問題提出：陳述現(xiàn)狀之“困”

新課標浙教版初中數(shù)學教材對舊教材知識結(jié)構(gòu)進行了調(diào)整，設(shè)置了“探究活動”“設(shè)計題”和“課題學習”等欄目，其意圖在于讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，給他們提供探索、實踐和創(chuàng)新的機會.教材中還引入了“閱讀材料”，旨在讓學生接觸有趣的數(shù)學史，開闊他們的數(shù)學視野.但在實際的教學過程中，這些具有特定教學功能的內(nèi)容卻陷入了“高價值低使用”的尷尬境地.對于“閱讀材料”(約24篇)，教師們在課堂上往往說得最多的一句話是：“有興趣的同學可以課后自己閱讀”，這樣“一言以蔽之”；對于“課題學習”或“設(shè)計題”(約28處)，這些與考試不直接相關(guān)的內(nèi)容似乎沒有進入教師的教學視野，難以“引起關(guān)注”；對于“探究活動”或類似探究的“習題”(約37處)，教師在教授這些具有一定趣味性又帶有較高研究價值的內(nèi)容時，往往“簡單化”處理，“匆匆走過場”；對于涉及生活內(nèi)容的表述、圖片等(達174處)，少有教師對其進行充分利用并予以深度教學，這些生活元素他們似乎“無心挖掘”.

基于上述“不太樂觀”的教學事實，課題組與校內(nèi)外不同層面的數(shù)學教師進行了訪談與交流，他們認為“閱讀材料”是重要知識，但不在考試檢測范圍內(nèi)；“探究活動”雖能培養(yǎng)學生的思維過程，但開展起來太費時間；“課題學習”會增加學生負擔而擠壓他們的作業(yè)時間；教師們一致認為應(yīng)該把“生活素材”融入教學中但操作起來“力不從心”.

分析了教師們的教學之“困”后，如何幫助他們解決這些困難與困惑呢？如何發(fā)揮新課標教材中“閱讀材料”“探究活動”“課題學習”“生活元素”的重要價值？課題組的視野落到了將新教材改編的理念與數(shù)學校本課程構(gòu)建的結(jié)合點上.在數(shù)學基礎(chǔ)性課程的基礎(chǔ)上，圍繞“閱讀材料”“探究活動”“課題學習”“生活元素”開展了數(shù)學拓展性課程的構(gòu)建與實施研究.

2 研究設(shè)計：尋求解決之“法”

2.1 理性思考——統(tǒng)整、拓展、補充基礎(chǔ)性課程

如何構(gòu)建拓展性課程？課題組認為，應(yīng)對基礎(chǔ)性課程中的“閱讀材料”“課題學習”“探究活動”等內(nèi)容進行3步操作：1)統(tǒng)整，即同類合并、異類分項；2)拓展，即對同質(zhì)的材料予以知識、方法以及思想上的延伸；3)補充，即結(jié)合初中生的學習能力和現(xiàn)實生活需求予以內(nèi)容上的完善.經(jīng)過“統(tǒng)整”“拓展”和“補充”過的材料就分別形成了一個較為完整的知識系，即各類拓展性課程.

2.2 概念界定——嘗試構(gòu)建數(shù)學素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學課程標準》修訂組提出了6種核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析[1].數(shù)學課程與教學論專家喻平對數(shù)學素養(yǎng)的核心成分進行了析取的實證研究，數(shù)學素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、運算能力、推理能力、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)(分析)處理、空間(想象)能力、問題解決能力、數(shù)學文化品格等[2-3].課題組借鑒、融合上述觀點認為：數(shù)學素養(yǎng)是具有數(shù)學內(nèi)涵的思維、能力與態(tài)度，具體包括數(shù)學文化、數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)學文化包含數(shù)學傳承和理性精神，數(shù)學抽象包含概括能力和表征能力，數(shù)學推理包含邏輯推理和類比推理，數(shù)學建模包含轉(zhuǎn)化能力和構(gòu)造能力，直觀想象包含幾何直觀能力和空間感知能力，數(shù)學運算包含法則運用能力和計算能力，數(shù)據(jù)分析包含數(shù)據(jù)理解能力和數(shù)據(jù)處理能力.

2.3 課程架構(gòu)——著眼素養(yǎng)發(fā)展構(gòu)建拓展性課程

基礎(chǔ)性課程是拓展性課程的“活水源”.從培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)出發(fā)，課題組梳理、拓展、補充教材中的“閱讀材料”“探究活動”“設(shè)計題”“課題學習”“生活素材”等內(nèi)容，構(gòu)建了“數(shù)學史拾趣”“數(shù)學實驗”“數(shù)學思想與方法”“生活中的數(shù)學”這4門拓展性課程的核心內(nèi)容(詳見表1).

表1 拓展性課程內(nèi)容來源表

篇幅所限部分內(nèi)容省略.

基于以上內(nèi)容線索，課題組圍繞“基礎(chǔ)性課程”“拓展性課程”與“數(shù)學素養(yǎng)”之間的關(guān)系搭建了一個邏輯框架，如圖1所示.

圖1

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，拓展性課程從基礎(chǔ)性課程中“獨立”出來并“發(fā)展壯大”，以便更有力地促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，這兩類課程在本質(zhì)上是互融互補的.

3 實踐操作：探索實施之“道”

如何讓開發(fā)的拓展性課程轉(zhuǎn)化為學生的數(shù)學素養(yǎng)？課題組認為應(yīng)在“學生探究體驗、動腦動手的理念下”圍繞每門課程的特性構(gòu)建與之相應(yīng)的實施模型與方式，具體可以從以下4個方面展開.

3.1 “史料加工”塑造文化品格

“數(shù)學史拾趣”是一門融數(shù)學史上重要事件、人物與成果于一體的“數(shù)學文化性”課程.學生通過該課程的學習可以獲得數(shù)學知識、數(shù)學方法以及數(shù)學精神等重要素養(yǎng).

1)實施模型.

根據(jù)數(shù)學史科學性與人文性的特點，課程實施的核心是閱讀、演繹和轉(zhuǎn)化.閱讀即讓學生自主閱讀數(shù)學史料，了解某一重要歷史事件所滲透的數(shù)學知識及其發(fā)生發(fā)展的歷程，感悟數(shù)學家為真理孜孜以求的高貴品質(zhì)以及嚴謹求實的科學精神等；演繹即讓學生對某一數(shù)學知識的發(fā)展歷程進行模擬式的再現(xiàn)，體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程，經(jīng)歷“數(shù)學家”的發(fā)現(xiàn)軌跡，習得特定的數(shù)學方法；轉(zhuǎn)化即讓學生將所學到的知識自覺應(yīng)用到相關(guān)的生活情境之中，將感受到的“數(shù)學精神”內(nèi)化為自身的學習品質(zhì)，不斷追求成功、創(chuàng)造卓越.具體的實施模型如圖2所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)學文化”“數(shù)學推理”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖2

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，從“數(shù)學史實”到“數(shù)學素養(yǎng)”的形成要經(jīng)歷學生的“自主閱讀”“自覺演繹”以及“自我轉(zhuǎn)化”.值得一提的是，有些“介紹性”的數(shù)學史料經(jīng)過學生閱讀后可以“無形”地內(nèi)化為自身的學習素養(yǎng)，但有些“過程性”的數(shù)學史料經(jīng)過學生閱讀后還需輔以“探究性”的理解和“遷移式”的應(yīng)用才能真正轉(zhuǎn)化為自身的數(shù)學素養(yǎng).

2)實施方式.

基于以上實施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開展教學呢？課題組認為要把握好4個環(huán)節(jié)：一是“引入故事”，即學生講述或閱讀某一數(shù)學歷史故事；二是“理解概念”，即師生共同抽取“故事”中的核心概念并加以吸收；三是“再現(xiàn)原理”，學生用工具或“模型”解讀“故事”所闡述的數(shù)學原理；四是“遷移應(yīng)用”，即學生能把“原理”與生活中的實例予以關(guān)聯(lián)并能合理應(yīng)用.

現(xiàn)以“哥尼斯堡七橋問題”為例予以闡釋.首先，學生圖文并茂地講述18世紀哥尼斯堡七橋問題的故事，拋出問題——一個游人怎樣才能不重復地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點.然后，師生共同討論，將哥尼斯堡七橋的情景轉(zhuǎn)化為一個圖——把生活問題抽象成數(shù)學圖形.再次，學生用“畫圖”的形式結(jié)合七橋問題呈現(xiàn)與解釋歐拉定理.最后，教師拋出物流業(yè)中“如何節(jié)省成本”的問題，讓學生利用歐拉定理科學設(shè)計物流路線，不走或盡量少走回頭路.

3.2 “實驗行動”織造思維過程

“數(shù)學實驗”課程是一門融數(shù)學問題的過程與結(jié)果、操作與思維、實驗與論證于一體的“動態(tài)性”課程.學生通過手腦并用“做”數(shù)學的過程獲得豐富的數(shù)學經(jīng)歷和體驗，形成直觀的數(shù)學理解等.

1)實施模型.

數(shù)學實驗是學生運用一系列常規(guī)工具(如三角板等)與媒體工具(如幾何畫板軟件等)，在數(shù)學思維活動的參與下進行的以實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動.課程實施的核心是合理選擇工具、操作探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論和驗證真?zhèn)?合理選擇工具即讓學生根據(jù)數(shù)學問題的類型選擇合適的探索工具；操作探究即學生在教師的指導下動手操作，用“形”的方式還原或探索某一命題的發(fā)生發(fā)展過程；發(fā)現(xiàn)結(jié)論即學生通過動手實踐獲得直觀感知和形象思維，再通過感性與理性的結(jié)合抽象出數(shù)學原理與方法，從而獲得數(shù)學結(jié)論.驗證真?zhèn)渭磳W生通過操作實物模型或技術(shù)工具，對結(jié)論或命題進行證實或證偽.具體的實施模型如圖3所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)學抽象”“數(shù)學運算”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖3

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，“操作探究”是數(shù)學實驗中最重要的環(huán)節(jié).它需要學生動手動腦、觀察分析、思考判斷，在一系列的思維過程與操作體驗中獲得探索、推理、理解、概括抽象等數(shù)學素養(yǎng).

2)實施方式.

基于以上實施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開展教學呢？課題組認為要把握好4個環(huán)節(jié)：一是理解命題，即學生要充分理解某一命題所表達的要求或意義；二是探索方案，即學生要將命題的內(nèi)容進行“可視化”的探索，這里的探索容納著“嘗試、改正與改進的過程”；三是實驗分析，即學生在實踐探索后要進行計算、推理和驗證；四是歸納(判斷)結(jié)論，即學生在實驗分析的基礎(chǔ)上形成命題的原理性知識或判斷出命題的真與假.

現(xiàn)以“正方形紙片剪拼”為例予以闡釋.首先，學生觀察與思考：把一張8×8的正方形紙片剪成4塊(如圖4所示)，按圖5重新拼合，這4塊紙片是否能拼成一個長是13、寬為5的長方形？然后，學生進行動手操作，做一張如圖4所示的正方形紙片，按圖示的虛線分割，再按圖5的方式拼合，發(fā)現(xiàn)4塊圖形拼合時，中間出現(xiàn)“縫隙”，兩個大直角三角形的斜邊并不重合.再次，學生分析不能拼合的原因是圖4的面積是64，圖5的面積是65.最后，學生作出判斷：“縫隙”是一個面積為1的細小的平行四邊形，肉眼難以觀察到；“數(shù)學不能簡單相信觀察，可以用實驗來證偽或證實”.

圖4 圖5

3.3 “項目學習”鍛造思想方法

“數(shù)學思想與方法”是一門用蘊含著數(shù)學思想與方法的經(jīng)典問題讓學生進行項目式學習的課程.學生通過某一“項目”的學習，深度理解特定數(shù)學思想和方法的內(nèi)涵及其可能的應(yīng)用“環(huán)境”.

1)實施模型.

項目學習是讓學生主動探索某一“問題”，并通過問題的解決與反思對“成果”進行展示與評價，從而構(gòu)建起一系列解決問題的“思想與方法”的活動.課程實施的核心是具象分析、方法探索與思想提煉.具象分析即讓學生分析“項目”的目標與條件，也就是所要解決問題的目標指向與現(xiàn)實條件；方法探索即讓學生探索達成“項目”目標的可能性方案并付諸實施予以檢驗和評價；思想提煉即讓學生集中大家的智慧，對所有可行的方案進行歸納總結(jié)、抽象概括，從而形成特定的數(shù)學思想與方法.具體的操作模型如圖6所示，這一模型指向?qū)W生“直觀想象”“數(shù)學建模”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖6

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學思想與方法”既是解決問題的工具又是項目學習的結(jié)果.其實，學生“數(shù)學思想與方法”的形成要經(jīng)歷從“無意識”的嘗試到“有意識”的抽象兩個階段.一旦學生掌握了“思想與方法”并形成了相關(guān)的數(shù)學素養(yǎng)，他們就會進入到“合理”運用的階段.

2)實施方式.

基于以上實施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開展教學呢？課題組認為要把握好4個環(huán)節(jié)：一是分析問題，即學生全面把握問題特征；二是制定策略，即學生運用所學知識探求解決問題的思路以及可能用到的“工具”；三是實施評價，即學生用所設(shè)計的策略嘗試解決問題并評估“過程”效率與“結(jié)果”質(zhì)量；四是挖掘提升，即學生對解決問題過程中的關(guān)鍵“要素”進行挖掘，將其提煉為一種數(shù)學思想或程序方法.

現(xiàn)以“勾股定理探究”為例予以闡釋.首先，教師讓學生思考：勾股定理反映的是直角三角形3條邊的關(guān)系，現(xiàn)有的證法對你有什么啟示？然后，學生根據(jù)課堂提供的思路、文獻檢索、利用幾何畫板工具等途徑進行探究，探索出多種不同的證明方法，比如無字證法等.再次，教師讓學生反思：這種方法利用了什么數(shù)學知識以及簡便性如何等.最后，師生綜合所有的探究結(jié)果，歸納“各種證法”背后的數(shù)學思想與方法，比如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及“等積法”“相似法”等.

3.4 “生活實踐”打造應(yīng)用理性

“生活中的數(shù)學”課程是一門利用數(shù)學知識解釋生活現(xiàn)象或運用數(shù)學技能、方法與思想解決現(xiàn)實生活問題的課程.學生通過該課程的學習可以增強“用數(shù)學”的意識和能力.

1)實施模型.

“生活中的數(shù)學”是學生把生活中某些復雜的數(shù)學現(xiàn)象進行轉(zhuǎn)化、分析或解釋，合理設(shè)計解決方案并達成特定目標的學習活動.課程實施的核心是情境轉(zhuǎn)化、(合理解釋)問題分析和數(shù)學建模.情境轉(zhuǎn)化即讓學生對生活現(xiàn)象進行分析并將其轉(zhuǎn)化為具體的“事件”或問題；合理解釋即讓學生用數(shù)學知識解釋某一事實，陳述其存在的合理性，這是一種“解釋型”解決方法；問題分析即讓學生對數(shù)學問題進行條件與目標之間“差距”的判斷與思考；數(shù)學“建模”即讓學生設(shè)計問題解決的操作思路、步驟與方法.具體的實施模型如圖7所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)據(jù)分析”“數(shù)學運算”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖7

從圖7可以發(fā)現(xiàn)，“生活中的數(shù)學”課程主要培養(yǎng)學生用數(shù)學解釋生活和解決生活問題的能力，遵循“從生活中來到生活中去”的理念.亦即從生活事例中挖掘、提煉具有豐富內(nèi)涵的數(shù)學問題，讓學生從問題的解釋與解決中習得數(shù)學素養(yǎng)后又回歸到現(xiàn)實生活的應(yīng)用之中，真正做到“學數(shù)學用數(shù)學”.

2)實施方式.

基于以上實施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開展教學呢？課題組認為要把握好4個環(huán)節(jié)：一是獲取信息，即學生從生活“事件”中獲取關(guān)鍵信息；二是抽取問題，即學生將獲得的重要信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；三是分析建模，即學生利用原有認知分析問題的實質(zhì)，建立解決問題的策略與方法；四是嘗試解決，即學生用數(shù)學知識、方法解決問題.

現(xiàn)以“平面圖形的密鋪”為例予以闡釋.首先，學生感知生活中一些神奇的圖案，并獲取圖案構(gòu)造的相似性信息，如圖案中的幾何圖形不僅形狀相同、大小也一樣，這些幾何圖形之間既沒有縫隙也沒有重疊等.然后，師生將以上“信息”轉(zhuǎn)化成“四邊形拼接時，拼接處有幾個角，與四邊形內(nèi)角有什么關(guān)系”等問題.再次，學生根據(jù)一系列問題尋找多邊形密鋪的條件與“原理”，如“正多邊形在一個鑲嵌頂點處的各內(nèi)角之和為360°”“任意形狀的三角形和任意形狀的四邊形都可以密鋪”等.最后，學生根據(jù)所得到的結(jié)論與建立的“模型”，進行不同條件的密鋪嘗試活動，設(shè)計出了有創(chuàng)意的精美圖案.

4 研究成效：催生教育之“長”

4.1 課程與教學相長

1)突破了教學瓶頸.

拓展性課程的構(gòu)建與實施，有效化解了基礎(chǔ)性課程教材中重要欄目的落實與教學課時限制之間的矛盾，是對基礎(chǔ)性課程實施瓶頸的有效突破，達成了新課程所要求的深層次目標.

2)豐富了課程資源.

本研究形成了較為完善的數(shù)學拓展課程體系.該體系從內(nèi)容上廣泛吸收基礎(chǔ)性課程以外的數(shù)學教材之長，編寫了4本拓展性教材以及配套的校本作業(yè)；在實施上構(gòu)建出了4種操作模型與方式；在教學實踐中積累了大量的教學經(jīng)驗與案例.

3)引領(lǐng)了課改方向.

筆者所在學校數(shù)學拓展性課程的構(gòu)建與實施，得到了浙江省教育廳教研室的高度肯定與重視.在浙江省“義務(wù)教育拓展性課程開發(fā)與實施”專題研討會議上，課題組作了“初中數(shù)學拓展性課程開發(fā)的實踐與思考”的主題發(fā)言，介紹成功的經(jīng)驗與做法.

4.2 學生與教師并進

1)激發(fā)了學習興趣.

從學校微信公眾號選課平臺的統(tǒng)計來看，學生非常喜歡數(shù)學拓展性課程，本學期還出現(xiàn)了網(wǎng)上“搶課”的現(xiàn)象.課程的“受歡迎度”直接表明拓展性課程與教學深層次地激發(fā)了學生的學習興趣.相應(yīng)地，興趣的激發(fā)對學生潛力的挖掘也有著助推作用.

2)發(fā)展了數(shù)學素養(yǎng).

實踐表明，學生通過拓展性課程的學習后，數(shù)學推理、抽象能力等素養(yǎng)得到了一定程度的提升.拓展性課程的“閱讀”“實驗”“探究”“實踐”讓學生形成了主動學習，自覺應(yīng)用數(shù)學的意識.在校內(nèi)數(shù)學節(jié)“數(shù)學DIY”活動中，據(jù)調(diào)查，選修過“生活中的數(shù)學”的學生所提供的解決方案或作品質(zhì)量明顯高于沒有參與選修的學生.再如，在“橋梁建模大賽”中，一位一等獎獲得者在談成功的體會時說道：“我的很多想法都是在‘數(shù)學實驗’課上學到的！”簡言之，不同的學生在數(shù)學素養(yǎng)上得到了不同程度的發(fā)展.

3)提升了教師能力.

拓展性課程的構(gòu)建與實施對教師的影響主要表現(xiàn)在兩個方面：一是轉(zhuǎn)變了教師的教學觀，改變了相應(yīng)的教學模式.教師充分發(fā)揮學生的主體地位，讓他們在合作中收集材料、制定方案、備課上課、制作作品、撰寫論文等.二是促進了教師教科研水平的提高.數(shù)學拓展性課程的構(gòu)建與實施在學校中營造了濃厚的教學和科研氛圍，激發(fā)了教師的動力，切實提升了教師的教學和科研水平.課題組兩年的研究積累了許多拓展性課程實施的經(jīng)驗與教學方法，撰寫了13項關(guān)于數(shù)學拓展性課程的成果，如研究報告、論文與案例等.

參考文獻

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