“算法”視角下解析幾何綜合題教學的嘗試與思考*

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(南京師范大學附屬揚子中學,江蘇 南京 210048)

針對解析幾何綜合題的教學，筆者所在備課組進行了一次集體備課，集思廣益.備課組成員暢所欲言，對目前學生解決解析幾何綜合題的現狀、困惑進行了梳理總結，同時提出了解析幾何綜合題的教學建議以待課堂實踐.作為備課組長的筆者率先垂范，首先開了一節課供大家進行研討，以求進一步優化教學.通過這一階段的教學研討，大家一致認為在解析幾何綜合題的復習方面取得了良好的效果.本文就筆者開設的一節課談談“算法”視角下的解析幾何綜合題教學的實施策略,不妥之處還望廣大同行批評指正.

1 現狀與困惑

大多數學生對于解析幾何綜合題的認識比較片面，他們普遍認為解析幾何綜合題難度大、計算量大,即使考試時遇到會做的題目，考場上也沒時間算到底，最終還是拿不到分.因此,他們不愿意在這方面投入更多的復習時間.若遇到容易題，大家都能解出來，區分度不大，總之認為花費太多的時間不值.學生畏難情緒嚴重，不愿意深入思考，討厭復雜運算，這直接制約著解析幾何綜合題的復習效果.教師方面，對解析幾何綜合題教學也沒有好的方法，教師直接講(或對答案)、學生板演(或投影學生的解題過程)教師點評、教師點撥解題思路后讓學生運算等等.一節課講不了幾道題(有時一道題也講不完),對學生掌握的情況也不甚了解，課堂乏味，效率低下.

2 問題與對策

問題出在哪里呢？

數學教育對于個人成長與社會進步的主要作用就是促進學生思維的發展.特別是，教師應當幫助學生通過數學學習逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，從而不斷提高自身的思維品質，并能真正成為一個高度自覺的理性人[1].

教學生學會思考，發展學生的認知力，這是數學教學的根本目標.因此解析幾何綜合題教學的主要問題在于沒有把“教會學生思考”作為核心問題來抓，而是片面地認為繁瑣計算成了解題的攔路虎.引導學生深入思考、優化計算理應成為解決解析幾何綜合題的突破口.針對這些問題，我們備課組提出了讓思考先行，從“算法”的視角優選參變量的教學策略.如何操作呢，我們先來看一段課堂實錄.

3 課堂實錄

以下是筆者所開設的一節課的教學片段：

1)求橢圓C的方程.

2)如圖1，設A為橢圓的上頂點，過點A作兩條直線AM，AN，分別與橢圓C相交于點M，N，且直

線MN垂直于x軸．

①設直線AM，AN的斜率分別是k1，k2，求k1k2的值.

②過點M作直線l1⊥AM，過點N作直線l2⊥AN，l1與l2相交于點Q．試問：點Q是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．

師：請同學們自主解決第2)小題第①問.

師：請一名同學敘說解題思路.

師(投影展示解題過程)：非常好！生1認為“動”的根源是兩直線的斜率在變化，因此可以選取斜率作為參變量進行解題，借助韋達定理及點M與N的對稱性建立關系式來解決.有沒有不同的解法？

師(投影展示解題過程)：非常棒！生2認為“動”的根源是點M的變動，因此選取點M的坐標作為參變量進行解題.結合點M在橢圓上可以得到相應的關系式，進而求解.

多數學生還是選擇了第一種做法，思路常規，容易想到，算法流暢，由于計算量不大，絕大多數學生都解出來了.

師：兩種方法都非常好，但從計算量的角度看孰優孰劣一目了然.之所以出現計算量不同，歸根結底和我們選取的參變量有關.我們求解解析幾何綜合題的最大擔憂就是計算量，看來優選參變量是優化解題的突破口.

啟示1從教師的層面看，每個教師應該有個人教學特色的例題講解范式，針對不同類型不同難度的題目再作適當調整.本題啟示我們應引導學生進行多角度審題，基于題目條件進行多視角處理，預設解決本題的多種算法，比較不同算法的優劣，選取最恰當的策略嘗試解題，如此思考會給解題帶來意想不到的效果.

師：有了剛才的總結，請思考第2)小題第②問的參變量選取，然后預設解題算法.

師：請一名同學敘說求解該題的算法.

師：還可以選擇其他變量解決嗎？

生3：感覺這種方法解題比較流暢，可能運算量要大一些.

師：非常棒！一會給大家時間去運算.有沒有其他選取變量的方法？

師：思路倒行得通，運算量不小.還有其他想法嗎？

生5：可以假設點Q的坐標，利用垂直關系建立關系式，用斜率和向量都可以.這樣做可以回避聯立方程組求點Q的坐標，從而減少計算量.

師：以上3位同學已經提供了解決該題的3種算法，相信還有不同的求解算法，請你比較一下，選擇一個你認為最簡單的方法來解決.

教師巡視學生的解題情況并選擇幾種不同的方法投影展示，討論比較.通過聯立兩直線方程，求點Q的坐標，得到yQ=-1，只有2位學生算出，其他學生沒有算完，看來運算較繁.利用假設點Q坐標求解的學生，基本都求出了結果，沒得到結果的也化簡到了最后一步,運算量不大.

教師板書示范完整的解題過程，如下：

設M(x0，y0),Q(x1，y1)，則N(x0，-y0)，依題意可得A(0，1)．

因為l1⊥AM，所以

即

(y0-1)(y1-y0)=-x0(x1-x0).

又因為l2⊥AN，所以

即

(-y0-1)(y1+y0)=-x0(x1-x0),

故

(y0-1)(y1-y0)-(-y0-1)(y1+y0)=0,

化簡得

(y1+1)y0=0.

因為點M是動點，所以y0是變量，不可能恒為0,從而

y1+1=0，

即

y1=-1,

故點Q在定直線y=-1上．

師：本題的目標是點Q的坐標是否滿足一定直線方程，因此目標引導我們解題時要尋求點Q的坐標滿足的關系式.因此直接設坐標比求坐標要來得快.

啟示2從題目本身的層面看，解題首先要明確題目結論的本質.教師要引導學生養成“讓結論引導思考”的思考范式.本題啟示我們應引導學生先對題目的結論進行多角度分析，鎖定結論目標進行多視角處理，預設解決本題的多種算法，比較不同算法的優劣，選取最恰當的策略嘗試解題.

4 教學反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》教學評價與建議部分指出：教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，引導學生總結出一些具有針對性的學習方式[2].解析幾何綜合題作為高中數學綜合題的典型代表，其教學范式也值得借鑒和遷移.

4.1 探尋條件中“動”的根源，優選參變量

解析幾何綜合題的特點是離不開“動”，點動、線動或量動等等.認識“動”的根源，尋求解題突破口.點動或線動最終都要用變量來進行刻畫，選取不同的參變量就會有不同的思路、不同的計算量、不同的處理方法，孰優孰劣能預先判斷為好.因此選取合適的參變量(解析幾何中常見的參變量有斜率、點坐標、角等)是優化解題的根本所在.基于此，我們的處理策略是：先深入理解題意，結合題目條件，對可用參變量都預設解決本題的一個算法(即擬定一個解題方案)，從而預知哪一步可以出現哪些量、可以求出哪些量、可以消去哪些量、哪一步用到什么方法、出現什么式子及計算復雜程度等等，然后對每一個算法的復雜程度與運算量進行比較，選取最佳參變量嘗試解題.

4.2 鎖定結論中目標導向，優選參變量

解題過程其實就是先認識“我在哪里”(題目條件)要“到哪里去”(結論)，其次是探尋“如何去”(解題策略)的問題，讓“要到哪里去”引導我們去思考“如何去”的問題.因此解題要鎖定結論中的目標導向，然后去設計求解策略.基于此，我們的處理策略是：先深入理解題意，鎖定題目結論，明確要求什么量或式子，需要引入哪些參變量可以實現，對可用參變量都預設解決本題的一個算法(即擬定一個解題方案)，比較分析，嘗試解題.

高中數學綜合題的解題就是一個不斷探索、嘗試、調整、修正、優化的過程.這個過程既有對條件的多角度轉化，同時也離不開結論的目標導向.解析幾何綜合題具有思考量大、邏輯性強、計算量大等特點，是從“算法”的角度來思考問題的典型素材.從“算法”的角度思考問題的方法也可以遷移到解決其他綜合題上，讓思考先行，少走彎路，事半功倍.其思考過程可以歸結如下所示：

波利亞的《怎樣解題》明確指出解題四部曲：理解題目、擬定方案、執行方案、回顧[3].如果我們能從“算法”的角度預設幾個解題方案，先比較優劣，再優選方案，豈不更好？優化解決一道題的同時發散了我們的思維，對題目的認識更深刻.堅持從“算法”的角度思考問題，養成良好的思考習慣和認知習慣，定能厚積薄發.

參考文獻

[1] 鄭毓信.數學教育的“問題導向”[J].中學數學教學參考，2018(1/2):2-6.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017年版)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 波利亞.怎樣解題[M].涂泓,馮承天，譯.上海：上海科學技術出版社，2016.