雪中梅花暗香來*
——一道統測題的多解賞析

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(源清中學，浙江 杭州 310015)

2018年1月下旬，浙江大地的一場大雪與“2017學年第一學期杭州市高三年級教學質量檢測”不期而遇，大雪給杭州的考生增添了一絲寒意.好在數學試卷難度適中，多道考題透出新意，考后也值得回味，讓考生感覺困難并愉悅著.這樣的考題猶如雪中的梅花，寒風中透出的暗香，讓人不忍離去.以下僅就其中的一道題為例加以賞析.

(2017學年第一學期浙江省杭州市高三年級教學質量檢測數學試卷第17題)

題目簡潔明了，求解內容也有別于常見的求平面向量的?；蚯笃矫嫦蛄繑盗糠e的問題，看到題目讓人感覺耳目一新.考后筆者進一步品味、聯想，感覺很有價值，與大家分享.

思路1直接入手很自然，再考慮相應函數的單調性.

解法1記f(λ)=λ+|a|,則

即當λ∈(-∞,0)時，f(λ)∈(-1,2),故λ+|a|的取值范圍是(-1,2).

評注函數的取值范圍(或最值或值域)問題，總是先考慮此函數的單調性，而導數正是解決函數單調性的有力工具.

思路2從向量的坐標形式也很容易入手.

以下同解法1.

評注在平面圖形中，若線段長為定值或角度已知，則往往建立平面直角坐標系進行分析，此情形下，向量的坐標形式就能發揮作用.

圖1

思路3向量的幾何背景往往令人耳目一新.

解法3如圖1，顯然，當λ=-2時，

|a|=|λ|=2；

當λ∈(-2,0)時，

λ+|a|∈(0,2);

當λ∈(-∞,-2)時，

|a|<|λ|,

從而

|OA|<|OM|,

過點A作AD⊥OM于點D，則

|DM|=1， |OA|>|OD|,

以O為圓心、OA為半徑的圓交DM于點E，此時

λ+|a|=|a|-|λ|=-|EM|∈(-1,0),

故

λ+|a|∈(-1,2).

評注向量是幾何與代數的交匯區，向量的運算有著濃厚的幾何背景，數形結合的思想在平面向量中得到最充分的體現[1]，是培養學生數形結合思想的很好機會.在解決向量問題時，首先想到的是它的幾何意義.

思路4在△AOM中，|AM|=2，另兩邊可以通過一個變量進行表示，這是三角的優勢.

圖2

于是

于是

λ+|a|∈(-1,2).

思路5函數問題的三角代換往往很有效.

由λ2+2λ+4=(λ+1)2+3≥3,可設

則

當λ+1>0,即-1<λ<0時，

當λ+1<0,即λ<-1時，

從而

即

綜上所述，當λ<0時，λ+|a|∈(-1,2).

評注三角代換主要是利用豐富的三角公式，將相對比較復雜的代數式轉化為容易處理的三角式，通過有界性達到求取值范圍的目的.對于雙變量的問題，三角代換的效果往往較好.

思路6雙變量問題也可以轉化為圓錐曲線考慮.

t2-(λ+1)2=3,

即

上述方程所表示的曲線C是雙曲線右支的一部分(如圖3)，此時z=λ+t，即斜率為-1、λ軸上的截距為z的直線l[2]，直線l與上述曲線C有公共點時，l需介于兩平行線l1與l2之間，故

-1

即

λ+|a|∈(-1,2).

圖3 圖4

思路7根式與距離“有緣”.

|AM|-|OM|.

在△OAM中，

|AM|-|OM|<|OA|=2,

記點A在x軸上的投影為點B，則當λ→-∞時，|MB|→|MA|,從而

|AM|-|OM|= |AM|-(|MB|+|BO|)>

-|BO|=-1,

故

評注根式、絕對值有明確的幾何意義，在代數問題中聯想幾何意義，其解法真可謂是賞心悅目.

思路8向量數量積的坐標形式可以巧妙運用.

圖5

z=m·n-1,

注意到

易得m·n∈(0,3),從而

z=m·n-1∈(-1,2),

即

λ+|a|∈(-1,2).

思路9換一個角度，變量換位更巧妙.

則

即

由λ<0,得

-1

根據三角形兩邊之差小于第三邊知z<-2不符，應舍去.故λ+|a|∈(-1,2).

評注在雙變量或多變量問題中，當直接入手有困難時，轉換角度、變量換位是一種很好的方法，可能會給我們帶來驚喜.

此題變量多，有一定的思維要求，學生感覺不容易處理.如果我們能展開聯想，打開思路，多進行嘗試，那么就會得到不小的收獲.

解法1記a2+b2=r2，試一試三角代換，令

其中θ∈R.由已知，關于x的方程

有實數解，即關于x的方程

有實數解，得

故

即

從而

于是

即

解法2由題意可知關于x的方程

有實數解.

試一試變量換位，聯想雙變量的轉化策略，上述方程可看作是以(a,b)為坐標的平面直角坐標系aOb中的直線方程，而a2+b2則是此直線上的點到原點距離的平方.由點到直線的距離公式，得

以下同解法1.

結束語一道測試題，內容可以涉及到現行高中數學中數形結合最充分的函數、三角、平面向量、解析幾何等內容，其豐富多彩的思維角度和解題方法，給考生以寬闊的意境空間，體現了該題深厚的內涵，如此具有匠心的設計，不得不讓我們對命題者肅然起敬.高三學習是辛苦的，優質的試卷和試題，通過教師的思維引導和解法展示，資源得到了充分利用，可以減少學生的疲勞感，既能達到訓練的目的，又可以適度減輕學生的負擔，更能對學生的心理疏導起著良好的作用.這樣的好題不禁讓我們想起了嚴寒雪天中的梅花，真所謂“雪中梅花暗香來”??！

參考文獻

[1] 曹鳳山.一個向量模 年年高考題[J].中學教研(數學)，2017(12)：43-46.

[2] 孔勝濤.讓解題思路因聯想而“自然”——一道高考題的解法探究與拓展[J].中學教研(數學)，2018(1)：14-16.