思有源 解有方*

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(大和初中,四川 巴中 636031)

近期筆者遇到了一道解絕對值方程的題目，其常見的錯誤解法引發了筆者的深層次探究.

1 解法探討

題目如果方程|3x|-ax-1=0的根是負數，那么a的取值范圍是

( )

A.a>-3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤-3.

(2016年初中奧林匹克數學競賽試題)

1.1 錯誤解法

1.2 致錯原因及思維突破

上述解法看似有根有據，其實迷惑性很強.為什么會出現上述結果呢？上述錯誤解法沒有弄清絕對值方程的特殊性，機械套用了常規方程的處理方法.

對于本題，理解條件“根是負數”是關鍵.正確解題方法是克服思維定勢的消極影響，在使用零點分類討論的基礎上，排除正根，即解決根的純粹性問題；或利用數形結合思想，借助直觀性突破思維障礙，或利用選項檢驗排除法獲得正確答案.

1.3 正確解法

解法1(排除法)當方程的根是負數時，x<0，原方程為

-3x-ax-1=0，

即

(3+a)x=-1，

從而

3+a>0，

得

a>-3.

當方程的根是正數時，x>0，原方程為

3x-ax-1=0，

即

(3-a)x=1，

從而

3-a>0，

得

a<3.

可見，兩個解集有公共部分，由于方程只有負數根，因此應從解集a>-3中排除a<3，結果為a≥3.故選B．

評注零點分類討論是代數解法的基礎，必須恰當使用：剔除不符合條件的部分.而上述錯解中，解法并不完備，導致取值范圍擴大.

思考1如果條件修改為“根是正數”呢？如果條件修改為“有一正一負根”呢？

圖1

利用上述零點討論，對于前者應從解集a<3中排除a>-3，即a≤-3；對于后者應是兩個解集的公共部分，即-3

解法2(數形結合法)如圖1，作y=|3x|的圖像，直線y=ax+1必過點(0，1).觀察圖像，當a=3時，直線y=ax+1與y=3x平行，并與直線y=-3x相交于第二象限，交點橫坐標為負數，符合題意；當a>3時，直線y=ax+1與y=3x無交點，只與直線y=-3x相交于第二象限，交點橫坐標為負數，符合題意.

綜上所述，a≥3.故選B.

評注函數y=|3x|的圖像關于y軸對稱，經過定點(0，1)的直線與其相交，在y軸左側有交點(對應根為負數)時，右側可能有一個交點(對應根為正數)，錯誤解法只考慮了負根有所欠缺.

1.4 選項檢驗排除法

從4個選項看，臨界值有a=3，為提高區分度，再增加a=0，檢驗如下:

綜上所述，選項B正確.

評注這種解法雖較為直接，但要增加區分度值作進一步檢驗，從而突破選項的迷惑性，避免偶然性的投機行為，提高排除法的準確性.

2 關于x的方程|x|=kx+b(其中bk≠0)根的正負性條件

利用零點分類討論，探究如下：

1)若b>0，當x>0時，

x=kx+b，

從而

得

k<1.

當x<0時，

-x=kx+b，

從而

得

k>-1.

關于x的方程|x|=kx+b(其中bk≠0)：①有唯一正數根，應剔除有負數根條件，得k≤-1；②有唯一負數根，應剔除有正數根條件，得k≥1；③既有正數根，又有負數根，即有兩個不相等的實數根，應取公共部分，得-1

2)若b<0，同理可得①當k<1時，有唯一正數根；②當k>-1時，有唯一負數根；③當-1≤k≤1時，無解.

思考2畫出“V型”函數y=|x|和一次函數y=kx+b的圖像，可以直觀地得到上述結果(略).

3 關于x的方程|x-a|=kx+b(其中k≠0)根的性質

先畫出“V型”函數y=|x-a|和一次函數y=kx+b的圖像，分類探究如下：

3.1 當a>0時的探究

|a-a|=ak+b，

③當-1

圖2 圖3

①當k<-1或k≥1時，有唯一的根小于a；

圖4

③當-1≤k≤1時，沒有實數根；

3.2 當a<0時的探究

③當-1

①當k>1或k≤-1時，有唯一的根大于a；

③當-1≤k≤1時，沒有實數根；

4 解法應用

請選擇合適的方法解答以下3個例題.

例1已知方程|x|=ax+1有一個負根，且無正根，求a的取值范圍.

解法1(零點分段討論法)當x<0時，-x=ax+1，從而

得

a>-1．

當x>0時，x=ax+1，從而

得

a<1.

由于方程有一個負根且無正根，從解集a>-1中剔除解集a<1，得a≥1．

解法2(數形結合法)如圖5，在同一坐標系中，分別作出y=|x|及y=ax+1的圖像.直線y=ax+1過定點(0，1)，因此a≥1.

解法3(運用結論)此處b=1,運用“關于x的方程|x-a|=kx+b(其中k≠0)根的性質”的相關結論，直接可得a≥1.

圖5 圖6

例2方程|x-2|+1=kx有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

例3關于x的方程|x2-2x-3|=mx+1有正根，沒有負根，則m的取值范圍是

( )

C.m>1 D.m<1

圖7

解(數形結合法)如圖7，在同一坐標系中作出函數y=|x2-2x-3|和y=mx+1圖像，當直線y=mx+1經過點(-1，0)時，m=1.由于方程只有正根，沒有負根，因此m>1.故選C.

“千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金”，科學探究離不開周密思考，只有去其糟粕，才能取其精華.通過“問題探究─歸納總結─應用升華”，定能實現數學學習和探究的不斷超越.