揭示數學問題的本質 促進深度學習的實現*
——以數列單調有界性的微專題教學設計為例

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(當湖高級中學,浙江 平湖 314200)

新一輪高中數學課程改革已經迎面向我們走來，基于核心素養的高中數學教與學策略有了巨大的轉變.如何提升新課程改革背景下課堂教學的針對性、有效性，這是每位一線教師都在思考的問題.

1 數學本質的理性認知

數學教師時常感嘆：40分鐘的一節課不夠用！準備充分的一節課，在授課過程中總會受到各種客觀因素的制約，從而使課堂效果大打折扣，教學目標無法徹底實現；學生也叫苦連天，抱怨課堂信息量太大，無法消化.筆者所任教的高中把微專題運用到教學中后，這些現象得到了改觀，課堂教學的有效性和針對性提升明顯.但如何才能從根本上破解這個困局？筆者認為：教學設計中揭示數學問題的本質是解決問題的關鍵.

本質就是該類事物共有和特有的穩定屬性，是事物變化當中保持不變的屬性.數學本質是指數學本身所固有的，決定數學學科性質、面貌和發展的根本屬性，簡言之，數學本質是指具體數學內容的本真意義.而數學的每一個本質屬性，又是建立在紛繁復雜的數學現象之基礎上的，只有揭開這些現象表面的迷霧，才能將數學由“冰冷的美麗”化為“火熱的思考”.

關于數學本質，浙江省金華市教育局教研室高中部主任、高中數學教研員張曜光老師和浙江省高中數學教研員、省特級教師張金良老師有著相似的觀點:對數學本質的理解，需要我們對具體內容進行深入挖掘，一層一層地追問——隱藏在客觀事物背后的是什么數學知識、數學規律，這個數學知識的本質屬性是什么，統攝具體數學知識與技能的數學思想方法是什么.這些觀點對筆者的觸動極深，為此結合以下這堂微專題教學展示課，來彰顯先進理念在具體的課堂教學中的指導意義.

2 數學本質的教學建構

2.1 準備基礎知識

2.1.1 數列的單調性

一般地，設數列an=f(n)的定義域為I(其中I為正整數集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n})，如果對于定義域I上的任意兩個自變量的值n，m,當n

2.1.2 數列的有界性

一般地，設數列an=f(n)的定義域為I(其中I為正整數集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}).

1)若存在常數M，對任意的n∈I都有an≤M，則稱M是它的上界；

2)若存在常數M，對任意的n∈I都有______，則稱M是它的下界.

2.1.3 遞推函數

設函數f(x)的定義域為I，值域也為I.若an∈I，an+1=f(an)，則稱數列{an}為由函數f(x)導出的遞推數列，函數f(x)稱為數列{an}的遞推函數.

2.1.4 函數不動點

1)設函數f(x)的定義域為I，值域也為I，若存在x0∈I，使得______，則稱x0為函數f(x)的______.

2)不動點的幾何意義：直線y=x與y=f(x)圖像交點的______值.

設計意圖數列是特殊的函數.用函數的觀點來看數列，用函數的思想解決數列問題，這是本堂課立意的核心.本設計針對的是高三一輪復習初期剛學完基本初等函數的普通層次的學生.此時的他們，函數的基本概念記憶深刻，函數知識結構初步建立，類比函數概念給出的數列概念，是符合他們的認知水平的.在概念生成的過程中，通過填空的形式凸顯關鍵點，引導學生做知識的類比遷移，主動建構概念，使學生真正深度參與到教學當中，為下面的深度思考打好基礎.

2.2 開展探究教學[1]

2)當a1=-2時，求數列{an}的通項公式，并判斷數列的單調性;

3)當a1=10時，研究數列{an}的單調性，并判斷數列的單調性.

圖1

問題5設一階線性遞推數列{an}滿足an=pan-1+q(其中n≥2,p≠0,q≠0)，請歸納當0

問題6請繼續觀察圖1，你能說出不動點x0與數列{an}的單調性之間的關系嗎?

設計意圖在新課程背景下，以問題為核心的教學探究成為中學數學教學及其研究的一個持續熱點.本階段設計采用了“問題探究”模式:啟動點是一道學生熟知的簡單例題，切口小，學生進入角色快；關鍵點是通過觀察遞推函數圖像，找到一階線性數列的形式化結論；落腳點是通過討論歸納出此類型問題的一般性結論，從而發現單調性和有界性的內在聯系.整個過程中學生深度參與，經歷從特殊到一般的數學化過程，體會數形結合的強大抽象能力，最終構建出符合自己認知的數學知識平臺，并透過繁雜的數學現象歸納總結出問題的本質.

筆者在設計時一直思考兩個問題:1)本節課需要完成的教學任務是什么，是傳授結論加以運用為主，還是運用數學概念、理論或方法解決問題？2)“問題鏈條”是否符合學生的主觀認知和感受，是否能引導出學生內心真正的心理困惑？“問題”是反映學生數學思維的一種“指示劑”，它揭示了學生發現和探究數學問題的思維活動.教師的設計要能引起學生的興趣，使學生感到問題的潛在價值，要能挑戰學生的數學思維，這樣的“問題探究”才具有學科價值.

2.3 引導思維深化

1)計算a1,a2,a3,a4，你有什么發現？

2)畫出數列{an}的遞推圖，你有什么發現？

4)證明：數列{a2n-1}單調遞減，數列{a2n}單調遞增.

(2016年浙江省數學高考樣卷第20題改編)

圖2

思考1)此題的通項公式無法求解，函數是非線性的，遞推圖像(如圖2所示)起到了什么作用?

例2已知數列{xn}滿足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),證明：當n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數學高考試題第22題)

思考1)你能看出題目中所蘊含的數列通項單調性和有界性嗎?

2)能否類比例1中有界性的探究方法，找出xn的邊界值?

設計意圖兩道例題是層層遞進的關系.例1讓學生明白：非線性的數列也可以研究，它的邊界值也被單調性和有界性所影響.例2對單調性和有界性做了深度加工，鼓勵學有余力的學生大膽猜想，xn的邊界值是如何確定的.本環節的設計，目的在于引導學生透過現象認識本質，針對遇到的問題進行深度思考，通過突破教師設計的種種障礙，由淺入深，由表及里，在知識運用中深化認知，在解決問題中磨煉數學思維和技巧，從而達到舉一反三、化繁為簡的目的，真正做到融會貫通.筆者想通過這道例題告訴學生:高考題目設計者看問題的大局觀和思維深刻性遠遠超越我們，但是對數學本質的認識與我們是一致的，我們也可以通過解決具體的問題，主動去探究發現其中的規律.

2.4 反思學習成果

教師小結：通過本節課的學習，說一說解決問題的心得體會.

1)單調性與有界性的內在邏輯聯系；

2)數列與不等式的外在形式共存.

1)證明：對任意的n∈N*，an≤2an+1；

(2015年浙江省數學高考理科試題第20題)

設計意圖經歷了數列單調性和有界性的探究過程，學生體會到了函數和數列之間的內在聯系，通過歸納概括一般性的結論，主動構建符合自己認知的知識架構.深度參與后教師有意識地引導學生進行深度反思，使學生分辨出本質和非本質屬性的不同表象，與自己正在學習的知識之間建立起血肉相連的關系.再通過遷移和應用，鞏固并完善所學，真正做到舉一反三、融會貫通.本節課的教學就是要培養學生在質疑和探究中把握事物的本質的能力，發展他們深刻而靈活的思維品質，這樣才是做到了深度學習，這樣才能提高自己的學習智慧.

3 深度學習的反思感悟

張奠宙先生認為：數學成果通常具有3種不同的形態:1)數學家構建數學思想、發現定理時的原始形態；2)公開發表，寫在論文里以及教科書里的學術形態；3)數學教師在課堂上向學生講課的教育形態.教科書里陳述的數學，往往是“冰冷的知識”.因此，數學教師的責任在于把數學的學術形態轉化為教育形態，使學生既能高效率地進行火熱的思考，又能比較容易地接受理解隱藏在“冰冷的知識”背后的數學本質.深度學習的實踐和理論發展，就是對這一觀點最好的詮釋.研究深度學習，就是要克服機械學習和淺層學習的桎梏，讓學生主動、積極學習，擺脫“教師教”與“學生學”的對立，使二者獲得高度的統一，真正體現出數學知識應有的本質屬性和教育價值[2].

3.1 深度學習下的學生學習是有意義的

學習數學是學生經歷數學化、自己建構數學知識的活動過程.在這個“再創造”的過程中，學生要理解明線的知識，既顯性的數學知識、文字形式，它反映知識之間的縱向聯系；更要理解教材暗線的知識，即隱形的數學思想方法，它反映了知識橫向聯系.這種狀態下的學習，學生不再是知識的旁觀者，而是參與者，是與數學先驅者進行精神上交流的活動.經歷了對知識的簡單認知、初步了解、深刻理解直到完全認同的完整過程，體會了隱藏在知識背后的情感、態度、價值觀，促進了自主發展的意識和能力，這才是深度學習下的有意義學習.

3.2 深度學習下的教師教學是有意義的

深度學習下的數學教學，著眼點在于研究教學法和對數學材料進行加工.教法上要加深對數學和課程基本結構的認識和理解，因為結構是數學本質不變的核心，掌握了學科知識的基本結構，就能把握住知識體系的核心和關鍵，就可以從宏觀上理解學科知識，避免“只見樹木不見森林”；教學設計要體現人的發展，分析和研究如何去實現以知識為載體的數學價值和數學自身的教育價值，呈現出一種追求“過程型”、探究“體驗型”的模式，為學生的發展提供自由廣闊的天地，引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養他們的創造力和創新能力，如此深度教學才能真正在課堂教學實踐中生根發芽，開花結果.

3.3 深度學習下的數學教育是有意義的

深度學習下的數學教育，實現了數學學科應有的價值.一方面，通過學習的過程和結果，學生的學習能力得到鍛煉，它培養的學生具有深刻而理性的學科精神.學生通過學習教師精心整理的學科知識，經過自身的消化吸收和深加工后，理解了繁雜表象背后的核心本質，潛移默化中逐步生成數學學科素養.學生學到的不僅是靜態的學科知識，更體會到了數學學科動態的不斷探索和創新的文化內涵.另一方面，深度學習促進了學生作為具體的、社會歷史實踐主體的正確價值觀的生成.成長和發展是當今社會對社會成員的基本要求，其形成有助于學生未來自主發展的核心素養，強化學生作為社會主體所必須具備的健康的身心、高水平的文化素養、強大的社會實踐能力、高尚的精神世界，數學對價值觀的形成有目共睹.

深度學習是有意義的學習，不是單純的知識傳遞，而是在接受基礎上的再創造；深度學習是師生和諧發展的學習，通過教學內容這個橋梁獲得高度統一；深度學習是終身制的學習，強調了理性思維，鼓勵不斷前行；深度學習是科學性的學習，強調批判性的接受，強調深度思考的核心地位，這就是對學科本質和知識意義的最好理解.

參考文獻

[1] 沈新權，曹鴻德.一階遞推數列的有界性和單調性[J].數學通報，2013,52(7):60-63.

[2] 郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36(11):25-32.