函數性質與最值問題

洪華明

摘要：利用函數性質解決最值問題是初中函數學習的一大難點，是初中數學教學最為頭疼的問題之一。那究竟要如何利用函數的性質來解決最值問題呢？

關鍵詞：函數性質；最值

一、利用一次函數性質求最值問題

一般來說，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像為一條直線，似乎與最值“無緣”。然而，在實際問題中，由于受自變量取值范圍的限制，其函數圖象局限于某一線段或射線，從而存在最值。何時獲得最大利潤？最大利潤是多少？這是一個現實生活中的的最值問題。在解題過程中，需將實際問題轉化為數學問題，通過一次函數的增減性可使問題得以解決。

要解決最值問題，首先要先掌握一次函數y=kx+b（k≠0）的性質：

（1）當k > 0時，直線y=kx+b從左向右上升，y隨x的增大而增大；

（2）當k < 0時，直線y=kx+b從左向右下降，y隨x的增大而減小。

1、進貨方案的設計

例1 、 某食品批發部準備用10000元從廠家購進一批出廠價分別為16元和20元的甲、乙兩種酸奶，然后將甲、乙兩種酸奶分別加價20%和25%向外銷售.如果設購進甲種酸奶為x（箱），全部售出這批酸奶所獲銷售利潤為y（元）。

（1）求所獲銷售利潤y（元）與x（箱）之間的函數關系式；

（2）根據市場調查，甲、乙兩種酸奶在保質期內銷售量都不超過300箱，那么食品批發部怎樣進貨獲利最大，最大銷售利潤是多少？

【解析】（1） y=-0.8x+2500

（2） 根據題意，得：x≤300且10000-16x ≤6000，

解得：250≤x≤300

由（1）知y=-0.8x+2500，

∵k=-0.8<0，

∴y隨x的增大而減小。

∴當x=250時，y值最大，此時y=-0.8×250+2500=2300（元）

所以當購進甲種酸奶250箱，乙種酸奶300箱時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤為2300元。

2、養殖利潤問題

例2、沿海某養殖場計劃今年養殖無公害標準化對蝦和鮑魚，由于受養殖水面的制約，這兩個品種的苗種的總投放量只有50噸。根據經驗測算，這兩個品種的種苗每投放一噸的先期投資、養殖期間的投資以及產值如下表： （單位：千元/噸）

養殖場受經濟條件的影響，先期投資不超過360千元，養殖期間的投資不超過290千元。設對蝦種苗的投放量為x噸。

（1）、求x的取值范圍；

（2）、設這兩個品種產出后的總產值為y（千元），試寫出y與x之間的函數關系式，并求出當x等于多少時，y有最大值？最大值是多少？

【解析】 （1）18≤x≤20；

（2） 根據題意，得：

y=20x+30（50-x） =-10x+1500；

∵18≤x≤20，k=-10<0，

∴y隨x的增大而減小。

∴當x=18時，y有最大值，且最大值是1320千元。

二、利用二次函數性質求最值問題

性質：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖像是一條拋物線，頂點是最高點或最低點，當a>0時，拋物線開口向上，頂點是最低點，最低點的縱坐標就是函數的最小值。當a<0時，拋物線開口向下，頂點是最高點，最高點的縱坐標就是函數的最大值。

1、定價方案的設計

例1、商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件.設每件商品的售價為x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元。（1）當每件商品的售價是多少元時，每個月的利潤剛好是2250元？（2）當每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

【解析】（1）x=65或x=85

（2）由題意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800

y=﹣2（x﹣75）2+2450

∴當x=75時，y有最大值為2450元。

答：當售價定為75時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2450元。