讓學(xué)生在探究中樂(lè)享數(shù)學(xué)

翁雯雯

摘要：隨著課程改革的推進(jìn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)參加探究性活動(dòng)已經(jīng)成為課堂教學(xué)的普遍追求。課堂教學(xué)如何開(kāi)展探究性教學(xué)活動(dòng)？下面從我的一節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

關(guān)鍵詞：學(xué)生；探究；數(shù)學(xué)

一、教材分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是探究等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式，以及對(duì)公式的應(yīng)用。學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，這是本節(jié)課內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)。求數(shù)列的前 項(xiàng)和是數(shù)列中的常見(jiàn)問(wèn)題。探究公式的環(huán)節(jié)，主要采用了創(chuàng)設(shè)情境、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。這一過(guò)程涵蓋了數(shù)學(xué)推理、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型等核心素養(yǎng)，涉及了首尾配對(duì)法、倒序相加法等數(shù)列求和方法。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能得到等差數(shù)列的求和公式，還能體驗(yàn)推導(dǎo)公式的過(guò)程，培養(yǎng)其中的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1、知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用。

2、過(guò)程與方法：通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、綜合等邏輯推理的能力；通過(guò)對(duì)公式不同角度的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在公式探索的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)。

重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決問(wèn)題。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：

據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

問(wèn)題1、這是一個(gè)什么類型的問(wèn)題？高斯的算法妙處在哪里？這可以叫什么方法？該方法應(yīng)用了數(shù)列的什么性質(zhì)？

預(yù)設(shè)：同桌相互交流，多名同學(xué)回答相互補(bǔ)充。這是一個(gè)等差數(shù)列 前100項(xiàng)的和的問(wèn)題。前后配對(duì)的和都是101，共50對(duì)。這方法可以叫首尾配對(duì)。該方法應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若 ，則 。

問(wèn)題2、高斯問(wèn)題項(xiàng)數(shù)是100項(xiàng)，正好配對(duì)，如果是奇數(shù)項(xiàng)，該如何配對(duì)？或者推廣到更一般的情形， 該如何計(jì)算？

預(yù)設(shè)：先獨(dú)立思考，再小組合作交流。

生1：對(duì)項(xiàng)數(shù) 進(jìn)行分類討論，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，直接配對(duì)，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，也是配對(duì)，剩下中間一項(xiàng)。解答過(guò)程如下：

當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，

；

當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，

（解答中，發(fā)現(xiàn)尋找中間項(xiàng)非常困難，可將中間項(xiàng)看成首項(xiàng)和末項(xiàng)的等差中項(xiàng)。）

生2：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，將前 項(xiàng)配對(duì)，再與最后一項(xiàng)相加。

問(wèn)題3、無(wú)論 為奇數(shù)或?yàn)榕紨?shù)，其結(jié)果都是一樣的，有沒(méi)有其他解法？

啟發(fā)：將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形圖案（圖一），在該圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形圖案（圖二），補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，則每一行都為 。

生3：倒序相加。

得

所以，

（二）深入探究，理解公式

問(wèn)題4、設(shè)等差數(shù)列 ，首項(xiàng)為 ，公差為 ，求等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和公式。

預(yù)設(shè)：先獨(dú)立思考，再小組合作交流。發(fā)現(xiàn)用倒序相加法很快能得出公式。

?得

所以，

如果代入等差數(shù)列得通項(xiàng)公式， ，

也可以用首項(xiàng) 與公差 表示，即

幾何理解：用梯形面積公式來(lái)理解等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式。

（三）公式應(yīng)用，強(qiáng)化理解

例1、根據(jù)下列條件，求等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 。

（1） ；

（2） 。

練習(xí)1：已知等差數(shù)列 前10項(xiàng)和是310，

前20項(xiàng)的和是1220.求等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 。

練習(xí)2：等差數(shù)列 中， ，

求公差 及前 項(xiàng)和 。

四、教學(xué)過(guò)程反思

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的指導(dǎo)下，教學(xué)設(shè)計(jì)看中數(shù)學(xué)問(wèn)題下的思維活動(dòng)，課堂教學(xué)著重分析和思維的提高。通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，我認(rèn)識(shí)到培育邏輯推理素養(yǎng)因圍繞問(wèn)題展開(kāi)。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)有效準(zhǔn)確、具有啟發(fā)性探究性的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、類比、分析、歸納等一系列探究過(guò)程，讓學(xué)生分析問(wèn)題、理解問(wèn)題，并最終解決問(wèn)題，從而深刻領(lǐng)悟邏輯推理方法。本節(jié)課，根據(jù)教學(xué)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一系列由易到難、從特殊到一般的問(wèn)題環(huán)，激起學(xué)生探究精神。其次，培訓(xùn)核心素養(yǎng)要在寬松、活躍的氛圍下進(jìn)行。邏輯推理過(guò)程需要大膽質(zhì)疑、合作交流，積極參與課堂教學(xué)活動(dòng)。因此，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生思考研究，發(fā)揮想象，提出創(chuàng)造性想法，展示學(xué)生的才華。