介紹一道原創“數學文化”高考模擬題

【摘要】2016年10月8日，教育部考試中心公布了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》（教試中心函〔2016〕179號）.關于數學科目修訂的內容之一就是增加了對數學文化的要求.本文由電視劇《愛情最美麗》的主臺詞編擬了一道原創“數學文化”高考模擬題，涉及等比數列、近似計算、計數原理和數論知識，供讀者欣賞.

【關鍵詞】數學文化；等比數列；近似計算；電視劇《愛情最美麗》

題目電視劇《愛情最美麗》（張國立導演，北京國立常升影視文化傳播有限公司，2013年）主臺詞（見第6集）：你聽說過嗎？前世五百次的回眸，換來今世的一次擦肩而過；前世五百次的擦肩而過，換來今世的一次相遇；前世五百次的相遇，換來今世的一次相識；前世五百次的相識，換來今世的一次相知；前世五百次的相知，換來今世的一次相愛.如果你的愛情出現了，你們一定會從人群中，一眼找到彼此.不管中間隔了多少險阻，都一定會遇到.這，就叫做緣分！

由這段話還可得到一個首項和公比均為500、項數為5的等比數列an：

前世a1次的回眸，換來今世的一次擦肩而過；前世a2次的回眸，換來今世的一次相遇；前世a3次的回眸，換來今世的一次相識；前世a4次的回眸，換來今世的一次相知；前世a5次的回眸，換來今世的一次相愛.

請你回答以下問題：

（1）已知一年大約是365×24×3600=31536000（秒）.若回眸一次用時1秒，則換來今世的一次相愛，前世需用個（精確到1）十萬年的時間來回眸；

（2）正整數a5的正約數個數是 ；

（3）若正整數a5的正約數和是A，則42047A+1是位數（其中[x]表示不超過實數x的最大整數）.（參考數據：lg2≈0.3010）