基于多參數耦合的滾動軸承油膜剛度分析

雷春麗，李復宏，郭俊鋒，楊曉燕

(1.蘭州理工大學 數字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，蘭州 730050;2.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050)

高速圓柱滾子軸承常應用于高精度旋轉機械系統中，如高速數控機床電主軸、現代航空渦輪發動機主軸和機車車輛等。軸承的剛度對旋轉機械的加工精度和動態性能有很大的影響[1]。主軸-轉子系統的臨界轉速、噪聲、振動特性、可靠性分析和故障診斷都依賴于軸承的剛度。軸承剛度由滾動體與套圈滾道之間的接觸剛度和潤滑油油膜剛度共同組成[2-5]。接觸剛度目前主要基于Hertz理論宏觀算法和現代微觀理論的法向剛度分形模型進行研究。近年來，國內外許多學者在油膜剛度分析計算方面進行了大量深入的研究。Wu等[6]計入油膜剛度和油膜阻尼，對Jeffcott軸承轉子系統臨界轉速進行計算分析。楊靜等[7]從實驗的角度出發，采用超聲無損檢測方法并根據接觸界面剛度超聲波測量原理來檢測油膜剛度。Qin等[8]根據接觸體的不同曲率、負載、卷吸速度進行數值計算得到油膜厚度和彈性變形數值，并分析了對油膜剛度的影響。Wang等[9]探究了在彈流潤滑下滾動軸承動態特性，揭示剛度和阻尼與環境黏度系數之間的變化規律。剡昌鋒等[10]考慮彈流潤滑的條件下，建立了深溝球局部缺陷的兩自由度動力學模型，通過振動信號響應的仿真信號與軸承故障實驗臺的數據對比，驗證了模型的正確性，為軸承故障診斷提供了理論依據。

實際上任何加工零件的表面都不是絕對光滑的，如果表面粗糙度遠遠小于油膜厚度，那么假定粗糙表面為光滑表面是可以的。通常軸承滾動體與套圈接觸表面經過光整加工后的粗糙度值一般在0.10 μm左右，彈流潤滑的油膜厚度一般為0.1～1 μm，可見粗糙表面對油膜厚度的影響是不可忽略的[11]。Patir等[12]首次研究了零件表面形貌對油膜厚度產生的影響。鄭學譜等[13]建立基于表面粗糙度的高速圓柱滾子軸承熱彈流分析模型，分析滾道粗糙度幅值和波長大小及方向對軸承彈流的影響。馮燕等[14]建立了粗糙表面熱彈塑性接觸法向剛度模型，分析了典型參數對結合部熱彈塑性接觸法向剛度的影響規律。此外，表面粗糙形貌引起油膜剛度的非線性變化會導致軸承-轉子系統的低頻振動，因此，表面粗糙形貌對軸承-轉子系統的振動也有顯著的影響[15-16]。既然要考慮表面粗糙度對油膜剛度的影響，那么除非粗糙紋理與表面運動同向，否則粗糙谷的運動勢必引起各點油膜隨時間而變化，因此存在時變效應[17]。除此之外，在旋轉機械系統中，外部參數的變化、啟動與制動、振動與沖擊等都會使壓力、膜厚、溫度、黏度等成為時間的函數，這就使得在研究油膜剛度中不得不考慮時變效應的影響。軸承在高速旋轉時，潤滑劑摩擦發熱和熱量的傳遞對潤滑劑和軸承性能產生了很大的影響。在潤滑過程中，油膜受到黏性剪切和壓縮作用而發熱，造成溫度升高,引起油膜膜厚和壓力發生變化。熱效應與軸承載荷、運動和動力學特性息息相關，熱量會使主軸-軸承系統剛度和動力學性能以及主軸單元精度和速度性能受一定的影響，因此必須考慮熱效應對油膜剛度的影響。張麗靜等[18]建立沖擊載荷作用下考慮熱效應和時變效應的海水潤滑塑料軸承彈流潤滑數值模型，討論了載荷幅值及脈寬對潤滑特性的影響。任付娥等[19]介紹了時變效應對乳化液彈流潤滑軋輥軸承的影響。Raisin等[20]在線接觸條件下同時考慮時變效應和熱效應，通過數值仿真，分析了滑滾比對熱態特性的影響。劉大全等[21]提出了對有限寬圓軸承進行流體動力潤滑熱效應分析的新方法，并運用此方法計算熱效應對軸承參數的影響。蔣云帆等[22]研究了熱效應、內外圈配合參數、離心效應和對航天發動機轉子前軸承剛度的影響。一般用作高速滾子軸承的潤滑劑，為了增強其耐磨、耐高溫等特性常會加入添加劑，使潤滑劑的流體并不都符合Newton黏性定律，這種流體被稱為非Newton流體。史修江等[23]分析了非牛頓效應對滑動軸承熱彈流潤滑膜厚和壓力的影響。上述工作對計算滾動軸承油膜剛度時需考慮的影響因素進行了深入研究，但大多數僅考慮單個或兩個影響因素，而滾動軸承在運轉時微觀結構和油膜狀態會發生變化，其機理比較復雜。鑒于此，本文綜合考慮非牛頓流體、時變效應、表面粗糙形貌、熱彈流、卷吸速度、黏度等影響因素，提出一種滾動軸承非Newton流體時變微觀熱彈流潤滑油膜剛度計算模型，對多參數耦合的高速圓柱滾子軸承油膜剛度進行研究，并分析了主要參數對油膜剛度的影響規律。

1 滾動軸承幾何模型

設滾動軸承內圈轉動，外圈固定。由于滾動體與內圈接觸處當量曲率半徑一般小于滾動體與外圈接觸處的當量曲率半徑，通常滾動體與外圈滾道之間的油膜厚度大于與內圈滾道之間的油膜厚度[24]。故本文取滾動體與內圈滾道的接觸區域為研究對象。滾動軸承的結構簡圖如圖1所示。

圖1 滾動軸承幾何模型Fig.1 Geometric model of rolling bearing

設滾動體的半徑為R1，內圈滾道的半徑為R2，n為內圈轉速，則滾動體與內圈滾道之間接觸點的當量曲率半徑為R=R1R2/(R1+R2)，內圈線速度Ub=2πR1n,滾動體線速度為Ua=πR1R2n/(R1+R2)。

2 彈流潤滑油膜剛度計算模型

任何復雜表面粗糙形貌是由許多不同形狀的微凸峰和微凹谷組成，并且都可以用多個余弦函數進行疊加解析。設滾動體表面a和套圈表面b均為粗糙表面，同時設兩表面粗糙度可用余弦函數描述為：

(1)

(2)

式中：β為粗糙度紋理走向與軸承滾動方向夾角；Ai為粗糙度幅值；li為粗糙度波長，i=a,b。

設潤滑油為Ree-Eyring非牛頓流體，其本構方程為：

(3)

式中：τ0為Ree-Eyring流體特征剪應力；η為Ree-Eyring流體表觀黏度。

時變微觀彈流問題是關于時間的周期性問題，即所有與時間有關的變量在經一個周期T以后又重復原來的值[25]。用公式表達，則為：

V(t)=V(t+T)

(4)

式中：V表示所有與時間有關的變量。

2.1 彈流潤滑基本方程

2.1.1 Reynolds 方程

Reynolds方程采用文獻[26]中非牛頓流體動壓分布規律的廣義Reynolds方程，可表示為：

(5)

式中:ρ為潤滑油密度；p為潤滑油壓力；h為油膜厚度；U為潤滑油卷吸速度U=(Ua+Ub)/2；η為潤滑油動力黏度。方程(5)中ρ*，ρe定義見文獻[26]。

方程(5)的邊界條件：

(6)

2.1.2 油膜厚度方程

滾動體與滾道之間線接觸油膜厚度方程為：

(7)

式中：h0為中心膜厚；R為當量曲率半徑；v(x,t)為變形方程；ra(x,t)、rb(x,t)均為表面粗糙度函數。

(8)

式中：x0、xe分別為計算域的起點和終點坐標；p(s,t)為距坐標原點s處的壓力；E為兩表面綜合彈性模量，各自表面的彈性模量Ea、Eb及Poisson比為νa、νb的關系為：

(9)

2.1.3 油膜能量方程

滾動軸承油膜的能量方程為：

(10)

式中：c表示潤滑油比熱；T′表示溫度；k表示熱傳導系數；ω，u表示流速。

2.1.4 接觸體固體熱傳導方程

滾動體與套圈兩固體的熱傳導方程為：

(11)

式中：ci、ρi、ki和zi分別為比熱、密度、熱傳導系數、滾動體和套圈內空間坐標，i=a,b。

方程(11)應該滿足界面熱流量連續條件：

(12)

油膜上游的溫度邊界條件：

T′(0,z,t)=T0

(13)

上游逆流區和下游是不需要邊界條件的。對于固體a和b，在za和zb方向上溫度邊界條件為:

(14)

式中：d為變溫層的深度。

2.1.5 黏度方程

潤滑油黏壓關系采用Roelands黏壓方程可表示為：

η=η0exp{(lnη0+9.67)[-1+

(15)

式中：η0為p=0時的潤滑劑黏度；T′為油膜溫度；T0為環境溫度；Z為黏壓系數；S為黏溫系數。

2.1.6 密度方程

潤滑油密壓關系采用Dowson-Higginson密壓方程可表示為：

(16)

式中：ρ0為環境密度。

2.1.7 載荷方程

載荷平衡方程為：

(17)

式中：w為單位長度上的載荷。

2.2油膜剛度計算模型

根據剛度的定義，可知：

(18)

式中：kfilm為接觸區的油膜剛度；w為接觸區的分布載荷；δ為接觸區油膜壓縮變形量。

2.3 數值方法

為了便于分析和求解，并改善計算過程的數值穩定性，需對所建數學模型進行無量綱化處理，定義無量綱化參考量如下：

聯立Ree-Eyring本構方程、Reynolds方程、膜厚方程、油膜能量方程、兩固體熱傳導方程、黏壓方程、密壓方程、載荷方程進行求解，其中壓力分析采用差分法求解，溫度采用逐列掃描算法求得，收斂判據為壓力和溫度的相對誤差均小于10-3。圖2為計算一組數值解流程圖。

圖2 數值計算流程圖Fig.2 Flow chart of numerical calculation

3 數值仿真結果及分析

表1 滾動軸承主要參數Tab.1 Main parameters of rolling bearing

表2 潤滑油及接觸體有關參數Tab.2 Parameters of lubricating oil and contact

3.1 滾動軸承一個工作周期典型數值解

圖3 t=T/2瞬時油膜壓力和膜厚分布Fig.3 Distribution of oil film pressure and film thickness in t=T/2

圖6示出了一個周期內油膜剛度的變化曲線。由圖6可知，油膜剛度在壓力和膜厚共同作用下，油膜剛度呈非線性變化，同時可以發現離中心區越近，非線性越強。在一個周期內入口到接觸區附近油膜剛度的變化趨勢基本一致；在接觸區中心附近油膜剛度達到最大，且最大值是先減小后增大再逐漸減小(如表3所示)，同時該處剛度變化幅度最大；油膜剛度在出口處非線性減弱，并且均有明顯的波動。整體而言，在主接觸區中心附近接觸表面形貌對油膜剛度影響較大，在入口與出口處影響較小。從圖6也可以看出，與光滑表面油膜剛度(見文獻[8])變化相比，一定程度的粗糙表面的油膜剛度性能優于光滑表面油膜剛度性能。因此，粗糙度幅值和波長控制在一定的范圍內，有助于減弱由于油膜剛度非線性變化引起軸承低頻振動。

表3 不同瞬時油膜剛度的最大值Tab.3 The maximum of instantaneous oil film stiffness

圖4 軸承一個工作周期中8個瞬時的壓力和膜厚分布Fig.4 8 instantaneous distributions of pressure and film thickness in a work cycle of a bearing

圖5 軸承一個工作周期中8個瞬時油膜與兩接觸體溫升分布Fig.5 8 transient distributions of oil film and temperature rise between two contacts in a work cycle of a bearing

圖6 軸承一個工作周期中8個瞬時油膜剛度的變化Fig.6 8 transient oil film stiffness of a bearing in a work cycle

3.2 油膜剛度影響因素分析

3.2.1載荷、潤滑油卷吸速度及黏度對油膜剛度的影響

圖7示出了t=T/2瞬時載荷對主要接觸區油膜剛度的影響?？梢钥闯?，其它因素不變時，整體而言，油膜剛度及油膜剛度振蕩幅度隨載荷的增加而增大。此結果與楊靜等的實驗結果變化趨勢一致。

圖7 不同接觸載荷下的油膜剛度kfFig.7 Oil film stiffness under different contact loads

圖8示出了t=T/2接觸區潤滑油卷吸速度、潤滑油黏度等因素對接觸區油膜剛度影響數值分析結果。從圖8(a)可以看出油膜剛度隨卷吸速度的增大而有所減少，此結果與Qin等的研究規律一致。這是由于隨著卷吸速度增加，油膜厚度增大，導致油膜剛度有所減少并最終趨于平穩。圖8(b)中，當載荷和油膜厚度不變時，油膜剛度隨潤滑油黏度的增大而增大。黏度增大必然導致油膜厚度增大，油膜厚度增大反而會導致油膜剛度減小，因此黏度對油膜剛度的影響是兩個相反效應綜合作用的結果。同時，也可看出與載荷、卷吸速度對油膜剛度的影響相比，黏度對其影響較小。

圖8 潤滑油卷吸速度及黏度對油膜剛度kf的影響Fig.8 Effect of oil suction velocity and viscosity on the film stiffness

3.2.2微觀形貌對油膜剛度的影響

圖9示出了表面粗糙度幅值、波長及粗糙表面紋理走向與軸承滾動方向夾角對油膜剛度的影響。可以看出，油膜剛度隨表面粗糙度幅值的增大而增大。油膜剛度振蕩頻率和幅度隨波長和粗糙度紋理走向與軸承滾動方向夾角的增大而增大。同時從圖9(c)中可以看出，在接觸區中心附近油膜剛度隨粗糙度紋理走向與滾動體方向夾角增大而增大。比較圖9(a)與圖9(b)不難發現，當滾動體與套圈表面粗糙度幅值和波長相同時，在入口區附近油膜剛度就會發生突變，這是因為在入口區當兩接觸體幅值和波長相同并且兩個粗糙峰相對時，粗糙峰對油膜阻礙作用增大所引起的。

圖9 表面粗糙度幅值與波長及粗糙表面紋理走向與滾動方向夾角對油膜剛度的影響Fig.9 Influence of surface roughness amplitude, wavelength and angle between roughness texture direction and rolling direction on oil film stiffness

4 結 論

通過研究高速圓柱滾子軸承在非牛頓微觀時變熱彈流潤滑條件下油膜剛度的變化規律，得到如下結論：

(1)建立了一種多參數耦合的高速圓柱滾子軸承油膜剛度計算模型，該模型考慮非牛頓流體、時變效應、表面粗糙度、熱彈流、潤滑油卷吸速度及黏度等因素，分析計算油膜剛度更符合工程實際。

(2)通過數值計算得到了一個完整的周期中8個瞬時油膜壓力、膜厚、溫升和剛度的分布情況，并分析了影響油膜剛度的主要因素。從圖中可以看出，接觸載荷、潤滑油卷吸速度、表面粗糙形貌對油膜剛度影響較大，而潤滑油黏度對油膜剛度影響較小。

(3)在進行數值分析時，發現軸承滾動體和套圈的表面粗糙度幅值和波長應控制在一定范圍內。粗糙度幅值應控制在0.10左右，波長控制在0.1～0.8之間，否則，可能會引起最小油膜變小，最大壓力、油膜溫度和油膜剛度急劇增加，引起油膜破裂，接觸面磨損過快，使軸承壽命減短。接觸區表面粗糙紋理與滾動方向的夾角對剛度影響較大，為了使油膜剛度比較穩定，減少沖擊帶來的損害，應將軸承接觸表面加工成網狀的粗糙網，粗糙度紋理與軸承滾動方向夾角取值范圍建議取15°～45°。

參 考 文 獻

[1] ZHANG Weigang, GAO Shanghan, LONG Xinhua, et al.Analysis of nonlinear dynamics on machine tool spindle-rolling bearing[J].Journal of Vibration and Shock，2008,27(9):72-75.

[2] 吳明星, 吳維, 胡紀濱, 等.考慮自旋的高速角接觸球軸承的油膜剛度計算[J].振動與沖擊,2014,33(10):38-42.

WU Mingxing,WU Wei,HU Jibin,et al.Oil film stiffness calculation of high speed angular contact ball bearings considering spinning[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(10):38-42.

[3] 陳斌, 陳劍, 董瑪莉, 等.基于點接觸熱彈流潤滑的油膜剛度建模分析[J].潤滑與密封, 2013,38(8):70-75.

CHEN Bin,CHEN Jian,DONG Mali,et al.Modeling method analysis for oil film stiffness calculation based on point contact TEHL theory[J].Lubrication Engineering,2013,38(8):70-75.

[4] ZHANG Hao, ZHAI Jingyu, HAN Qingkai, et al.Dynamics of a geared parallel-rotor system subjected to changing oil-bearing stiffness due to external loads[J].Finite Elements in Analysis and Design, 2015,106:32-40.

[5] LI Songsheng,SHAO Juan,YU Feng,et al.Research on modeling method for oil-film stiffness calculation of point contact based on EHL [J].Advanced Materials Research,2014,945-949:802-810.

[6] WU Hao,WANG Jianwen,AN Qi.Vibratory behaviors of Jeffcott system on cylindrical roller bearings [J].Frontiers of Mechanical Engineering,2009,4(3):305-309.

[7] 楊靜, 楊亮, 楊園鑒, 等.圓柱滾子軸承的剛度計算[J].中國科技論文, 2014,9(8):897-901.

YANG Jing,YANG Liang,YANG Yuanjian,et al.Stiffness calculation of cylinder roller bearing[J].China Sciencepaper,2014,9(8):897-901.

[8] QIN Wenjie, CHAO Jie, DUAN Lunjing.Study on stiffness of elastonhydrodynamic line contact[J].Mechanism and Machine Theory,2015,86:36-47.

[9] WANG Xiaoli,ZHANG Yuyan,YAN Xiaoliang.Dynamic behaviors of the Elastohydrodynamic lubricated contact for rolling bearings[J].Journal of Tribology,2013,135(2):1-8.

[10] 剡昌鋒, 苑浩, 王鑫,等.點接觸彈流潤滑條件下的深溝球表面局部缺陷動力學建模[J].振動與沖擊,2016,35(14):61-70.

YAN Changfeng,YUAN Hao,WANG Xin,et al.Dynamics modeling on local defect of deep groove ball bearing under point contact elasto-hydrodynamic lubrication condition[J].Journal of Vibration and Shock,2016,35(14):61-70.

[11] 周敏, 燕陽, 林穎,等.滾動軸承電化學機械光整加工[J].冶金設備, 2003(6):51-53.

ZHOU Min,YAN Yang,LIN Yin,et al.Electroch-emical mechanical finishing of rolling bearing[J].Metallurgical Equipment,2003(6):51-53.

[12] PATIR N, CHENG H S.Effect of surface roughness orientation on the central film thickness in EHD contacts[J].Proc.5thLeeds-Lyon Simposium on Tribology, 1978:15-21.

[13] 鄭學普, 鄧四二, 周彥偉, 等.滾道表面粗糙度對高速滾子軸承彈流影響[J].軸承,2005(7):4-8.

ZHENG Xuepu,DENG Sier,ZHOU Yanwei,et al.The raceway effect of surface roughness on the high-speed roller bearings[J].Bearing,2005(7):4-8.

[14] 馮燕, 俞小莉, 劉震濤.基于熱彈塑性理論的法向接觸剛度分形模型[J].浙江大學學報(工學版),2015,49(8):1553-1558.

FENG Yan,YU Xiaoli,LIU Zhentao.Fratal model of normal contact stiffness based on thermal elasto-plastic theory[J].Journal Zhejiang University(Engineering Science),2015,49(8):1553-1558.

[15] 王正浩, 袁惠群, 范改燕,等.軸承隨機激勵對轉子系統隨機響應的影響[J].振動與沖擊,2013,32(17):452-457.

WANG Zhenghao, YUAN Huiqun, FAN Gaiyan,et al.Influence of bearing random excitation on random response of rotor system[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32 (17):452-457.

[16] 張柏林, 王飛, 許澤懷.軸承油膜剛度非線性變化導致低頻振動的研究[J].湖南電力, 2002,2(1):13-15.

ZHANG Bailin,WANG Fei,XU Zehuai.The research of low frequency vibration caused by the nonlinear change of bearing oil film stiffness[J].Hunan Electric Power,2002,2(1):13-15.

[17] YANG Peiran,SHEN Jiankun.On the theory of time-dependent Micro-THEL for a Non-Newtonian lubricant in line contact[J].Lubrication Science,1996,8(3):297-312.

[18] 張麗靜, 王優強.振動沖擊對海水潤滑塑料軸承時變熱彈流潤滑的影響[J].振動與沖擊, 2013,32(15):203-208.

ZHANG Lijing,WANG Youqiang.Influence of vibration and shock on transient thermal elastohydrodynamic lubrication of seawater-lubricated plastic bearings[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(15):203-208.

[19] 任付娥,王優強.時變效應對軋輥軸輥軸承熱彈流潤滑影響[J].鍛壓技術,2013(3):133-137.

REN Fue,WANG Youqiang.Influence of transient effect on themal elastohydrodynamic lubrication of roll bearing[J].Forging & Stamping Technology,2013(3):133-137.

[20] RAISIN J,FILLOT N,DUREISSEIX D,et al.Characteristic times in transient thermal elastohydrodynamic line contacts [J].Tribology International,2015,82:472-483.

[21] 劉大全, 張文,鄭鐵生.圓軸承流體潤滑熱效應模型及其應用[J].潤滑與密封, 2005(4):122-125.

LIU Daquan,ZHANG Wen,ZHENG Tiesheng.Thermohyd-rodynamic model and application of circular journal bearing [J].Lubrication Engineering,2005(4):122-125.

[22] 蔣云帆,廖明夫.航空發動機高壓轉子前軸承剛度特性分析[J].推進技術,2014(8):1123-1130.

JIANG Yunfan,LIAO Mingfu.Stiffness characteristics analysis on high-pressure rotor front bearing of aero-engine[J].Journal Propulsion Technology,2014(8):1123-1130.

[23] 史修江,王優強.指數率非牛頓水基磁流體熱彈流分析[J].機械設計與制造,2013(5):149-152.

SHI Xiujiang,WANG Youqiang.Thermal elastohydrodyna-mic lubrication analysis of the power law non-newton water-based ferrofluid[J].Machinery Design & Manufacture,2013(5):149-152.

[24] 劉永紅,高創寬.滾動軸承熱彈流數值分析[J].機械工程與自動化,2008(1):34-36.

LIU Yonghong,GAO Chuangkuan.Analysis of rolling bearing thermal EHL[J].Mechanical Engineering & Automation,2008(1):34-36.

[25] 楊沛然.流體潤滑數值分析[M].北京:國防工業出版社,1998.

[26] 楊沛然,溫詩鑄.周期性載荷對非牛頓熱彈性流體動力潤滑的影響[J].力學學報,1992,24(4):404-410.

YANG Peiran,WEN Shizhu.Effect of cyclic loading on the dynamic lubrication of non Newtonian thermal elastic fluids[J].Acta Mechanica Sinica,1992,24(4):404-410.