含鉸間隙平面連桿機構動力學建模與仿真向量鍵合圖法

王中雙，徐長順，楊 韜

(齊齊哈爾大學 機電工程學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

在機械系統中,運動副所起的作用是連接相鄰的構件，使構件間具有不同形式的相對運動。由于機械構件的相對運動要求、加工誤差、裝配誤差及磨損等原因，不可避免地導致運動副間隙的產生。從而使得機構的運動學、動力學性能有所改變。對于高速運行的機械裝備，運動副間隙會帶來較明顯的振動、噪聲問題，同時也會相當程度地降低設備的運動精度。因此，研究考慮運動副間隙的機械動力學問題具有重要的實際意義。目前，含鉸間隙機構動力學建模方法主要分為三大類[1]：① “接觸分離”二狀態模型；②“接觸-分離-碰撞”三狀態模型；③“連續接觸”模型。由此構成了具有不同特點的含間隙機構動力學的建模與分析方法，這些方法主要以牛頓-歐拉法(Newnton-Euler Method)、拉格朗日法(Lagrange method)、凱恩法(Kane method)等分析力學方法[2]為基礎，僅適用于單一機械能域系統的局部動力學，無法用統一的方式處理機、電、液、氣等多種能量形式并存系統的動力學建模與仿真問題。鍵合圖法[3]對于解決該類問題優勢明顯，在實際工程中的應用日益廣泛[4]。文獻[5-6]基于標量鍵合圖，分別給出了含不同“接觸-分離-碰撞”運動副間隙模型的槽輪機構、齒輪機構的動力學建模與分析方法。與傳統標量鍵合圖相比較，向量鍵合圖[7]每根鍵上所對應的勢變量和流變量皆為向量形式，這使其包含信息量較大，可以用更加緊湊、簡明的圖形方式，表述含間隙平面連桿機構的運動學及動力學特征，應用更加簡單、便利。文獻[8]基于二狀態非連續接觸模型，建立了含鉸間隙平面四桿機構的向量鍵合圖，實現了其動力學建模與仿真。但在處理貯能元件的微分因果關系及建立系統動力學方程方面，在方法上還局限于手工處理。

目前，應用向量鍵合圖法進行含鉸間隙平面連桿機構動力學建模與仿真研究工作的文獻報道較少，其研究工作還不夠全面、深入。MLSD(massless-link/spring-damper)鉸間隙模型是在無質量桿模型的基礎上，引入了剛度與阻尼的影響，屬于“連續接觸”模型[9]。與無質量桿模型相比較，其精度較高。本文建立了MLSD鉸間隙的向量鍵合圖模型，具有模塊化、嵌入式及簡單實用的特點，適用于含多個鉸間隙機構的動力學建模與分析。在此基礎上，給出了相應的含鉸間隙平面連桿機向量鍵合圖模型的建立方法。針對該類機構構件間非線性幾何約束所導致的微分因果環問題，提出了兩種有效的解決方法，克服了其給該類機構自動建模與仿真所帶來的代數困難。應用文獻[10]所提出的算法，以統一的方式實現了含鉸間隙機電耦合系統計算機輔助動力學建模與仿真。結合實際算例，驗證了所述方法的可靠性及有效性。

1 含鉸間隙平面連桿機構向量鍵合圖模型

為更準確地描述含間隙旋轉鉸的特性，文獻[9]在無質量桿模型的基礎上介紹了MLSD模型(massless-link/spring-damper)，如圖1所示。設C1、C2分別為構件Bβ、Bα的兩個鉸接點，rC為運動副間隙矢量，kC和μC分別表示運動副元素接觸剛度和阻尼系數，這里采用線性彈性力和線性阻尼力來計算運動副約束反力FC。設rC1、rC2分別為鉸接點、在全局坐標系OXY中的位置矢量，則

rC=rC2-rC1

(1)

對式(1)兩邊求導得

(2)

圖1 無質量桿-彈簧阻尼模型Fig.1 The model of massless-link/spring-damper

(3)

這與文獻[9]所闡述的MLSD模型所包含的動力學方程是一致的。

文獻[7]根據平面運動構件質心速度矢量、鉸接點速度矢量及角速度間的非線性關系，建立了單一平面運動構件的向量鍵合圖模型。對于含鉸間隙的平面連桿機構，可以將單一平面運動構件的向量鍵合圖模型及含間隙鉸向量鍵合圖模型按照機構的構成方式組合起來，建立完整的含鉸間隙平面連桿機構向量鍵合圖模型。將其與驅動電機的向量鍵合圖組合起來，可以建立完整的含鉸間隙機電耦合系統向量鍵合圖模型，為實現該類系統的自動建模與仿真奠定重要的基礎。

圖2 無質量桿-彈簧阻尼模型向量鍵合圖Fig.2 The vector bond graph of massless-link/spring-damper model

2 實際算例

該例是典型的含運動副間隙機電耦合系統，其向量鍵合圖模型如圖4所示。為闡述方便，本文僅考慮了鉸接點C存在間隙。對于鉸接點A、B、D存在間隙的情況，可以采用相同的方法來建模。其中，圖4Ⅰ為永磁式直流電動機的鍵合圖模型[10]，圖4Ⅱ為曲柄搖桿機構的向量鍵合圖模型，由單一平面運動構件的向量鍵合圖、無間隙旋轉鉸向量鍵合圖[7]及含間隙旋轉鉸向量鍵合圖組合而成；圖4Ⅲ為基于無質量桿-彈簧阻尼模型的含間隙旋轉鉸向量鍵合圖。圖4中，MAB=diag(mABmAB)，MBC1=diag(mBC1mBC1)，MDC2=diag(mDC2mDC2)。各構件質心速度矢分別為VCAB=[VCABxVCABy]T，VCBC1=[VCBC1xVCBC1y]T，VCDC2=[VCD2xVCDC2y]T。

文獻[10]將系統的鍵合圖模型劃分為源場、貯能場、耗散場及結型結構。在此基礎上，推導出系統狀態方程及運動副約束反力的統一公式，具有程式化的特點，便于計算機自動建模與仿真。但是，在建立含旋轉鉸間隙的平面連桿機構向量鍵合圖模型的過程中，構件間的鉸約束使其向量鍵合圖模型的多數貯能元件具有微分因果關系。另外，運動構件質心速度矢量、鉸接點速度矢量及角速度的非線性關系，使機構向量鍵合圖具有較復雜的非線性結型結構。由文獻[3,10]可知，具有微分因果關系的貯能元件所對應的能量變量是非獨立，需要用具有積分因果關系的貯能元件所對應的能量變量(系統狀態變量)來表示，這一過程較復雜且不規則，直接用現有的方法實現機構自動建模與仿真比較困難。為此，將各運動副約束反力向量Se12(旋轉鉸A)、Se18(旋轉鉸B)、Se43(旋轉鉸D)作為未知勢源向量添加在該機構向量鍵合圖模型相應的0-結處，可以完全消除其微分因果關系，使所有貯能元件皆具有積分因果關系，如圖4所示。經過如此處理后，可以直接應用文獻[10]所述方法進行機構的計算機自動建模與仿真。

圖3 電機驅動含間隙四桿機構Fig.3 The four bar mechanism driven by electric motor

圖4 系統向量鍵合圖模型Fig.4 The vector bond graph model of system

值得說明的是，當考慮該機構的4個鉸接點A、B、C、D均具有間隙時，將圖2所示向量鍵合圖模型直接嵌入到機構向量鍵合圖表示約束反力矢量的0-結處，可以完全消除機構向量鍵合圖模型貯能元件的微分因果關系，直接應用文獻[10]所給出的方法進行機構的自動建模與仿真。

由文獻[10]所述方法知，與圖4所示系統向量鍵合圖相對應的系統獨立貯能場獨立運動的能量變量向量(系統狀態變量)為

式中，pi(i=2,6,20,34)表示圖4中相應慣性元件的廣義動量，q31表示圖4中相應容性元件的廣義位移。

系統獨立貯能場非獨立運動的能量變量向量

式中，pix、piy(i=16,28,42)表示圖4中相應慣性元件的廣義動量向量在X軸及Y軸方向的投影，VCABx、VCABy、VBC1x、VBC1y、VDC2x、VDC2y分別表示相應構件質心速度向量在X軸及Y軸方向的投影。

相應的共能量變量向量

式中：fi(i=2,6,20,34)表示圖4中相應慣性元件的流變量，e31表示圖4中相應容性元件的勢變量，fix、fiy(i=16,28,42)表示圖4中相應慣性元件的流向量在X軸及Y軸方向的投影。

耗散場輸入、輸出向量分別為

式中，ei、fi(i=4,7)分別表示圖4中相應阻性元件的勢變量和流變量，e32x、e32y、f32x、f32y分別表示圖4中相應阻性元件的勢向量和流向量在X軸及Y軸方向的投影。

系統已知勢源向量

式中：Seix、Seiy(i=15,27,41)分別表示圖4中相應勢源向量在X軸及Y軸方向的投影。

系統未知勢源向量

結合系統貯能場方程、阻性場方程、結型結構方程各系數矩陣，在MATLAB軟件環境下進行編程求解，其中仿真參數設定如下：求解器為Ode45、積分步長設為自適應變步長、積分誤差為10-4，仿真結果如圖5～10所示。值得說明的是：無間隙時，圖3中的C1、C2點重合為一點C，有間隙時，C1、C2點對應的約束反力值相同。為闡述方便，該處約束反力統稱為C處約束反力。

用牛頓-歐拉動力學方法[2]得到該例機械部分的動力學方程，將其降階轉換成一階非線性微分方程組形式，并與驅動電機的動力學方程[10]聯立，可以得到該系統狀態方程形式的動力學方程。在MATLAB軟件環境下，選用同樣的求解器，設定相同的仿真參數進行編程求解，部分計算結果如表1所示。

表1所列的計算結果與用本文方法所得結果完全一致，其原因如下：針對圖4所示的機構向量鍵合圖，對與各剛體角速度及質心速度矢量相對應的1-結求勢和，所得結果與相應構件的牛頓-歐拉動力方程完全相同，這說明兩種方法的力學原理及本質是一致的。因此，所得到的系統狀態方程在形式上也完全一致。這一驗證工作手工處理量較大，過程比較繁瑣，這也進一步體現了本文所述方法的優勢。

圖5 無間隙鉸接點C約束反力合力曲線Fig.5 Resultant constraint force curve of joint C without clearance

圖6 有間隙鉸接點C約束反力合力曲線Fig.6 Resultant constraint force curve of joint C with clearance

圖7 無間隙時連桿質心Y方向加速度曲線Fig.7 Acceleration curve of Y-axis of coupler centroid without clearance

圖8 有間隙時連桿質心Y方向加速度曲線Fig.8 Acceleration curve of Y-axis of coupler centroid with clearance

圖9 無間隙時連桿角加速度曲線Fig.9 Angular acceleration curve of coupler without clearance

圖10 有間隙時連桿角加速度曲線Fig.10 Angular acceleration curve of coupler with clearance

表1 牛頓—歐拉動力學方法驗證的部分結果Tab.1

在0～1 s時間段，由圖5、圖6知：鉸接點C的間隙對其約束反力影響較大，盡管間隙鉸約束反力與無間隙鉸約束反力曲線變化的總體趨勢相近，但理想鉸約束反力曲線較光滑。與理想鉸約束反力相比較，間隙鉸約束反力合力的最大值顯著增大，t=0.279 3 s時，理想鉸約束反力合力最大值為1557 N，t=0.281 5 s時, 間隙鉸約束反力合力最大值為2 940 N。兩者達到最大值的時間差僅為0.002 2 s，最大值增加了88.82%。另外，間隙鉸約束反力合力的波動峰值及其變化頻率均明顯增大。當t=0.205 3 s、t=0.281 5 s、t=0.353 4 s、t=0.428 3 s、t=0.509 3 s、t=0.595 6 s、t=0.684 3 s、t=0.770 7 s、t=0.855 9 s、t=0.941 s時，間隙鉸約束反力曲線產生急劇突變，快速達到峰值。由于在上述時刻附近間隙鉸約束反力合力FC均大于零，表明運動副元素尚未發生分離，但此時運動副元素的沖擊較大。由圖7、圖8知：理想機構連桿BC質心Y方向加速度曲線較光滑。相比理想機構而言，有間隙時連桿BC質心Y方向加速度總體變化趨勢相近，但其幅值及波動頻率均明顯增大。t=0.323 6 s時，理想機構連桿BC質心Y方向加速度最大值為563.5 m/s2；t=0.323 1 s時，有間隙機構連桿BC質心Y方向加速度最大值為843.75 m/s2，兩者達到最大值的時間極為相近，但最大值增加了49.73%。由圖9、圖10知：理想機構連桿BC角加速度曲線較光滑。相比理想機構而言，有間隙時連桿BC角加速度總體變化趨勢相近，但其幅值及波動頻率明顯增大。t=0.330 4 s時，理想機構連桿BC角加速度最小值為-1 797.5 rad/s2；t=0.334 9 s時，有間隙機構連桿BC角加速度最小值為-2 734 rad/s2。兩者達到最小值的時間極為相近，但角加速度絕對值增加了52.1%。上述現象發生的根本原因是鉸接點C的間隙，該間隙導致了運動副約束反力的急劇變化。這會加劇機構系統運行的振動與沖擊，直接使機構連桿的動態性能有所惡化。

3 結 論

(1)基于無質量桿-彈簧阻尼模型，建立了含間隙旋轉鉸向量鍵合圖。具有模塊化、嵌入式的特點，簡單、實用，適用于含多個鉸間隙的平面連桿機構動力學建模與仿真。

(2)結合一般平面運動構件的向量鍵合圖，給出了建立含旋轉鉸間隙的平面連桿機構向量鍵合圖模型的一般方法。所建立的該類系統向量鍵合圖模型，力學概念簡明、直觀。

(3)針對該類機構向量鍵合圖中貯能元件的微分因果關系，給出了兩種有效的消除方法，解決了其給機構動力學自動建模與仿真所帶來的代數困難。

(4)應用現有的算法，以統一的方式實現了含旋轉鉸間隙機電耦合系統的動力學自動建模與仿真，一定程度上提高了該類工作的計算效率及可靠性。通過具體算例，分析了運動副間隙對于運動副約束反力及連桿動態特性的影響，對于機電系統中連桿機構的研究及設計有一定的價值。

(5)本文工作既是對含間隙平面連桿機構動力學建模方法研究的有益補充，也是對向量鍵合圖理論及應用必要的擴展。

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