邊跨非對稱的三跨懸索橋振動基頻估算方法

楊國俊，杜永峰，郝憲武，李子青，王曉明

(1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050；2.長安大學(xué) 公路學(xué)院，西安 710064)

懸索橋的自振頻率是許多研究者和設(shè)計工程師們普遍關(guān)注的結(jié)構(gòu)特性之一[1-3]，而基頻是反應(yīng)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)穩(wěn)定性和地震動力響應(yīng)的主要參數(shù)，所以利用基頻估算公式快速計算頻率是懸索橋方案選型和在初步設(shè)計階段計算動力特性不可或缺的一環(huán)[4-5]。對于傳統(tǒng)的單跨簡支懸索橋和三跨連續(xù)加勁梁懸索橋，諸多文獻初步研究了其相應(yīng)基頻計算公式，其中文獻[6]基于單跨簡支懸索橋，采用Rayleigh法給出了一階正對稱、反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)自振基頻的估算公式；劉春華等[7]采用攝動法隨機有限元(Stochastic Finite Element Method,SFEM)對橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率進行分析；盛善定等[8-9]應(yīng)用能量法探討了單跨懸索橋振動時的基頻計算公式；謝官模等[10]在盛善定等研究的基礎(chǔ)上考慮了吊桿、索夾等的動能后利用Rayleigh法得到了單跨懸索橋豎向振動基頻的實用近似計算公式；肖汝誠[4]采用考慮幾何非線性的有限元法、通用程序SAP5計算方法和解析法分別計算了吊橋的自振頻率，其中解析法推導(dǎo)的公式與文獻[6]中的估算公式基本一致；鞠小華等[11]在上述文獻的基礎(chǔ)上計入主塔剛度對自振頻率的影響，采用能量法推導(dǎo)了單跨懸索橋基頻估算公式，提出了計入邊纜和主塔剛度影響以及考慮實際振型修正后的正對稱豎彎基頻估算公式；Larsen等[12]基于不考慮主塔剛度影響的假定下，采用Raleigh-Ritz法推導(dǎo)出了三跨連續(xù)加勁梁懸索橋的對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)自由振動基頻近似計算公式；鞠小華[13]在Lorsen的研究基礎(chǔ)上推導(dǎo)了三跨連續(xù)加勁梁懸索橋的反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)基頻計算公式；焦常科等[14]基于3塔懸索橋采用Lanczos特征值求解法分析了中塔梁間的彈性拉索剛度對豎向振動頻率的影響；王本勁等[15-17]提出了考慮中塔剛度影響的3塔或多塔懸索橋的振動基頻估算公式。

綜上所述，對于傳統(tǒng)對稱的雙塔、多塔以及多跨懸索橋都有相應(yīng)的基頻近似計算公式。由于受地形和地質(zhì)條件的限制，邊跨跨徑不對稱的三跨非對稱懸索橋在國內(nèi)外不斷涌現(xiàn)，如國內(nèi)的浙江西堠門大橋(578+1650+485)m、香港青馬大橋(333+1377+300)m、湖南湘西矮寨特大懸索橋(242+1176+116)m等，英國的亨伯爾橋(540+1410+280)m及土耳其的博斯普魯斯一橋(231+1074+255)m。由于這類懸索橋邊跨跨徑的非對稱對結(jié)構(gòu)振動頻率有不可忽略的影響，所以分析跨徑變化對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響很有必要，而且很少有文獻研究邊跨跨徑非對稱的三跨懸索橋基頻實用估算公式。雖然有限元法能計算結(jié)構(gòu)的頻率，但是懸索橋的復(fù)雜性導(dǎo)致有限元建模過程相當(dāng)繁瑣，不便于設(shè)計人員快速判斷橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性。文中基于邊跨非對稱三跨懸索橋動力特性中自振頻率的近似計算公式對該類型橋的動力方面初步設(shè)計和設(shè)計人員快速判斷橋梁結(jié)構(gòu)的振動特性都有較大的幫助作用，另外，實用估算公式以供概念設(shè)計或校核有限元計算結(jié)果。

1 Rayleigh-Ritz法及基本假定

1.1 基于Rayleigh-Ritz法的頻率計算方法

假定振動不受動內(nèi)力的影響，圖1所示的懸索橋豎向固有振動的微分方程為[2]

(1)

在無阻尼固有振動的情況下，橋梁的任一點、任一瞬間的位移可以表示為

v(x,t)=φ(x)sin(ωt+φ)

(2)

式中：φ(x)是假定的能滿足橋梁位移邊界條件的近似振型函數(shù)；ω為與此對應(yīng)的結(jié)構(gòu)頻率；φ為相位差。

根據(jù)能量守恒原理[18]可得頻率ω的近似公式

(3)

式中：EI(x)和m(x)分別為彎曲剛度和質(zhì)量分布值函數(shù)。

則基頻f的計算公式為

(4)

1.2 三跨非對稱懸索橋基本假定

為了便于推導(dǎo)邊跨跨徑不相等的三跨非對稱懸索橋自由振動時的豎彎和扭轉(zhuǎn)基頻估算公式，其基本假定如下：①忽略材料非線性，所采用的材料均滿足胡克定律；②恒載在主纜上沿跨徑均勻布置，在恒載作用下主纜的線形為拋物線；③吊索沿跨徑均勻稠密布置，并且在振動時不伸長不傾斜；④三跨非對稱懸索橋在自由振動時產(chǎn)生較小幅度的位移，且整個過程結(jié)構(gòu)剛度保持不變；⑤主索鞍在主塔上不產(chǎn)生滑動等現(xiàn)象。

為了便于分析邊跨非對稱性對三跨加勁梁懸索橋動力特性的影響，如圖1所示，其中主跨矢高為f2，邊跨跨徑L1≠L3，文中定義邊跨跨徑和中跨跨徑相關(guān)的參數(shù)k和l，k表示右邊跨跨徑與左邊跨跨徑的比值，即k=L3/L1，l表示左邊跨跨徑與中跨跨徑的比值，即l=L1/L2，采用參數(shù)k和l表征三跨連續(xù)加勁梁懸索橋的中邊跨跨徑之間的關(guān)系，以此分析跨徑相關(guān)參數(shù)變化對該橋基頻的影響。

圖1 非對稱懸索橋布置圖Fig.1 Layout of asymmetry suspension bridge

2 三跨非對稱懸索橋豎彎基頻估算公式

2.1 結(jié)構(gòu)體系勢能

根據(jù)邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋結(jié)構(gòu)特點，可得到其一階正對稱和反對稱豎彎振型圖，分別如圖2,3所示。

對于邊跨跨徑非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋，H其豎向自由振動的總能量由勢能和動能組成，其中由于非對稱懸索橋的自由振動是微小的，所以由纜力變化產(chǎn)生的主纜應(yīng)變能和恒載作用點降低產(chǎn)生的重力勢能構(gòu)成了主纜勢能。

圖2 一階正對稱豎彎振型Fig.2 Mode shape of 1st symmetric vertical vibration

圖3 一階反對稱豎彎振型Fig.3 Mode shape of 1st anti-symmetric vertical vibration

①對于n跨懸索橋主纜的勢能Uc。

(5)

式中：Uce為纜力變化產(chǎn)生的勢能；H為振動引起的主纜水平分力；vi為第i跨加勁梁的振型函數(shù)；Ucg為恒載作用點降低產(chǎn)生的主纜重力勢能；Hs為恒載作用下主纜的水平拉力。

②對于n跨懸索橋加勁梁的彎曲勢能Us

(6)

式中：EIv為加勁梁的抗彎剛度。

則體系總勢能U為

(7)

2.2 結(jié)構(gòu)體系動能

由于n跨稱懸索橋自由振動的動能由主纜、加勁梁及吊桿的動能組成，所以結(jié)構(gòu)體系總動能為

(8)

式中：Tc、Tg、Th分別為主纜、加勁梁及吊桿動能；mc、mg、mi分別為兩主纜纜質(zhì)量集度之和、順橋向加勁梁質(zhì)量集度及第吊索的質(zhì)量集度。

2.3 正對稱豎向彎曲基頻估算公式

針對邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋，其加勁梁的一階正對稱豎彎振型如圖4所示，反對稱豎彎振型如圖5所示。

圖4 加勁梁一階正對稱豎彎振型Fig.4 Mode shape of stiffening girder 1st symmetric vertical vibration

圖5 加勁梁一階反對稱豎彎振型Fig.5 Mode shape of stiffening girder 1st anti-symmetric vertical vibration

假設(shè)滿足邊中跨邊界條件的三跨懸索橋加勁梁振型位移函數(shù)為

(9)

式中：A1、A2、A3分別為左邊跨、中跨和右邊跨豎彎振型函數(shù)的振幅。

由于三跨懸索橋的加勁梁是連續(xù)梁，根據(jù)加勁梁的連續(xù)性得其振型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在分界點處相等，即

當(dāng)cos(ωt+φ)=1時，

當(dāng)sin(ωt+φ)=1時，

由Rayleigh-Ritz法可得，

(10)

由式(4)可得邊跨非對稱的三跨懸索橋正對稱豎彎基頻為

(11)

(12)

為了方便計算，忽略量級小的值，由量級分析可知，式(12)第二項比第一項和最后一項小2～3個數(shù)量級，近似計算時可忽略不計，故上式可簡化為：

(13)

在一般情況下，矢跨比n=0.1，q=mg，若取k=1，則可得邊跨對稱三跨懸索橋正對稱豎彎基頻估算公式，

(14)

式(14)與文獻[13]中邊跨對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋正對稱豎彎基頻公式一致，表明推導(dǎo)的公式更具有通用性。

若k=1,l→0極限情況時，又因為式(13)根式下第一項比第二項小1個數(shù)量級，當(dāng)忽略此項時，即可得到單跨懸索橋的正對稱豎彎自振頻率為

(15)

式中：EcAc、EcAc1分別為兩側(cè)主纜的抗彎剛度和單側(cè)主纜的抗彎剛度。

式(15)與文獻[6]中的單跨懸索橋?qū)ΨQ豎彎基頻估算公式完全一樣，從而驗證了邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋正對稱豎彎自振頻率估算公式的適用性。

2.4 反對稱豎向彎曲基頻估算公式

對于邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋，其加勁梁的一階反對稱豎彎振型如圖5所示，假設(shè)其滿足邊界條件的三跨懸索橋加勁梁的振型位移函數(shù)為

(16)

同理，由加勁梁的連續(xù)性可得，

同理，由Rayleigh-Ritz法可得，

(17)

由式(4)得邊跨非對稱懸索橋的正對稱豎彎基頻為

(18)

(19)

若取k=1，則可得邊跨對稱的三跨懸索橋反對稱豎彎基頻估算公式為

(20)

式(20)與文獻[13]中邊跨對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋反對稱豎彎基頻公式一致，表明推導(dǎo)的公式更具有通用性。

3 三跨非對稱懸索橋扭轉(zhuǎn)基頻估算公式

3.1 結(jié)構(gòu)體系勢能

基于邊跨不對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋在扭轉(zhuǎn)自由振動時，主纜的相容方程為

(21)

式中：Le為主纜的虛擬長度；

則主纜撓曲勢能U3為

(22)

結(jié)構(gòu)體系總勢能為

(23)

式中：U1、U2、U3分別為加勁梁約束扭轉(zhuǎn)勢能、自由扭轉(zhuǎn)勢能及主纜撓曲勢能；EJw、GIt分別為加勁梁約束扭轉(zhuǎn)剛度和自由扭轉(zhuǎn)剛度。

3.2 結(jié)構(gòu)體系動能

基于邊跨不對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋在扭轉(zhuǎn)自由振動時，結(jié)構(gòu)體系扭轉(zhuǎn)總動能T為

(24)

式中：T1、T2分別為加勁梁旋轉(zhuǎn)動能和撓曲動能；b為兩主纜的間距；r為加勁梁質(zhì)量回轉(zhuǎn)半徑；mgr2、mcb2/4分別為加勁梁的扭轉(zhuǎn)慣矩和主纜的扭轉(zhuǎn)慣矩。

3.3 正對稱扭轉(zhuǎn)基頻估算公式

對于該橋的一階正對稱扭轉(zhuǎn)振動，設(shè)其滿足邊界條件的扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)為

(25)

式中：B1、B2、B3分別為左邊跨、中跨和右邊跨扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)的振幅。

由加勁梁的連續(xù)性得，

同理，由Rayleigh-Ritz法可得，

(26)

由式(4)及令J=mgr2+mcb2/4，f2=n·L2，可得邊跨非對稱三跨懸索橋的正對稱扭轉(zhuǎn)基為

(27)

忽略約束扭轉(zhuǎn)，根據(jù)邊中跨跨徑關(guān)系L1=lL2、L3=kL1，化簡整理式(27)可得

(28)

在一般情況下，矢跨比n=0.1，k=1，邊跨對稱的三跨懸索橋正對稱扭轉(zhuǎn)基頻估算公式。

若取k=1,l→0極限情況時，Hsb2/4比GJt小數(shù)量級，當(dāng)忽略此項時，即可得到單跨懸索橋的正對稱扭轉(zhuǎn)自振頻率計算公式為

(29)

所以式(29)與文獻[6，8-9]規(guī)范給出的簡支單跨懸索橋正對稱扭轉(zhuǎn)基頻公式完全一樣。

為了計算方便，將邊跨非對稱的三跨加勁梁懸索橋的一階正對稱扭轉(zhuǎn)基頻和豎彎基頻比值記作扭彎比κ，則正對稱扭彎基頻比為

(30)

記a=kl+l+1，b=1-k2l2-l2，經(jīng)簡化得，

(31)

3.4 反對稱扭轉(zhuǎn)基頻估算公式

對于邊跨非對稱三跨連續(xù)加勁梁懸索橋的反對稱扭轉(zhuǎn)振動，設(shè)其滿足邊界條件的扭轉(zhuǎn)振型位移函數(shù)為

(32)

同理，由加勁梁的連續(xù)性得，

同理，由Rayleigh-Ritz法可得，

(33)

則反對稱扭轉(zhuǎn)的自振頻率為

(34)

根據(jù)邊中跨跨徑關(guān)系L1=lL2，L3=kL1，化簡整理式(34)可得

(35)

當(dāng)忽略約束扭轉(zhuǎn)，k=1，得到邊跨對稱的三跨懸索橋反對稱扭轉(zhuǎn)基頻估算公式。

若取k=1,l→0極限情況時，可得到單跨懸索橋的反對稱扭轉(zhuǎn)自振頻率計算公式為

(36)

所以式(36)與文獻[6，8-9]中的單跨懸索橋反對稱扭轉(zhuǎn)自振頻率估算公式是相同的，驗證了基于邊跨不對稱的非對稱三跨懸索橋一階反對稱扭轉(zhuǎn)頻率估算公式的更具有通用性。

4 公式驗證

以某邊跨非對稱三跨連續(xù)加勁梁懸索橋為背景，驗證文中推得的估算公式精度。背景橋的算例1跨徑布置為(540+1420+280)m，主纜矢跨比n為0.1，兩主纜間距為35 m，參數(shù)l為0.383，參數(shù)k為0.518，加勁梁的泊松比為0.3，算例2跨徑布置為(302+888+348.5)m，主纜矢跨比n為0.1，兩主纜間距為35.6 m，參數(shù)l為0.340，參數(shù)為1.154，加勁梁的泊松比為0.3，算例3跨徑布置為(328+1385+295)m，主纜矢跨比n為0.1，兩主纜間距為37.7 m，參數(shù)l為0.237，參數(shù)k為0.899，加勁梁的泊松比為0.3，背景橋的其他計算參數(shù)取值如表1所示。

將表1中的計算參數(shù)代入式(13)、(19)、(28)及(35)，得到上述背景橋的豎彎和扭轉(zhuǎn)振動的基頻，同時建立該橋的有限元模型，通過有限元方法計算該背景橋的基頻，計算結(jié)果如表2所示。

表1 實橋主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of real project

表2 實橋算例豎彎和扭轉(zhuǎn)振動基頻對比Tab 2 Fundamental frequencies comparison of vertical and torsional vibration

算例1邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋一階豎彎和扭轉(zhuǎn)自振基頻的文中解和有限元解對比分析如圖6所示，由表2和圖6分析可知，豎彎和扭轉(zhuǎn)自振基頻的文中解和有限元解基本吻合，表明推導(dǎo)的該類型橋自振基頻計算公式精度較高，兩者的誤差基本都在10%以內(nèi)，一階正對稱豎彎振動基頻有限元解和文中解的誤差是9.2%，一階反對稱豎彎振動基頻有限元解和文中解的誤差是9.2%，而一階正對稱扭轉(zhuǎn)基頻的有限元解和文中解的誤差是5.0%，一階反對稱扭轉(zhuǎn)基頻的有限元解和文中解的誤差是4.4%。

圖6 文中解和有限元解的自振頻率(算例1)Fig.6 Fundamental frequency calculated by the proposed and the FEM

為了分析跨徑相關(guān)參數(shù)變化對基頻的影響，從圖7～10分析可知，跨徑相關(guān)的參數(shù)變化對正對稱k，l反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)基頻有較大的影響，當(dāng)跨徑相關(guān)的系數(shù)、其中之一保持不變，而另一個增大時，正對稱、反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)的基頻基本減小趨勢，表明對邊跨非對稱的三跨連續(xù)加勁梁懸索橋而言，當(dāng)兩邊跨比不變時，隨著邊中跨比的增大，豎彎和扭轉(zhuǎn)基頻減小，整體剛度減小；當(dāng)邊中跨比不變時，隨著兩邊跨比的增大，同樣基頻會減小，只是減小的幅度不同而已。

圖7 系數(shù)變化對正對稱豎彎基頻的影響Fig.7 Influence of coefficient on symmetric vertical fundamental frequency

圖8 系數(shù)變化對反對稱豎彎基頻的影響Fig.8 Influence of coefficient on anti-symmetric vertical fundamental frequency

圖9 系數(shù)變化對正對稱扭轉(zhuǎn)基頻的影響Fig.9 Influence of coefficient on symmetric torsional fundamental frequency

圖10 系數(shù)變化對反對稱扭轉(zhuǎn)基頻的影響 Fig.10 Influence of coefficient on anti-symmetric torsional fundamental frequency

5 結(jié) 論

(1)推導(dǎo)了邊跨非對稱三跨連續(xù)加勁梁懸索橋正對稱、反對稱豎向和扭轉(zhuǎn)自由振動的基頻近似計算公式以及正對稱下的扭彎基頻比κ，并討論了公式的適用性，非對稱三跨懸索橋的跨徑比例參數(shù)取極限即可得到單跨懸索橋基頻估算公式，并與文獻[6,8-9]中的公式進行了對比分析，表明推導(dǎo)的基于邊跨非對稱三跨連續(xù)加勁梁懸索橋基頻計算公式比《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計規(guī)范》[6]公式更具有通用性。

(2)通過某邊跨非對稱的三跨懸索橋算例驗證了推導(dǎo)公式的精度，并分析了二者的誤差。分別用有限元法和文中公式計算了實橋的正對稱、反對稱豎向彎曲自振基頻和扭轉(zhuǎn)自振基頻，結(jié)果表明，兩者的誤差基本都在10%以內(nèi)，文中推導(dǎo)的計算公式精度較高，可以在實際工程中應(yīng)用。

(3)跨徑相關(guān)參數(shù)變化對邊跨非對稱懸索橋的正對稱、反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)基頻有較大的影響。當(dāng)跨徑相關(guān)的系數(shù)k,l，其中之一保持不變，而另一個增大時，正對稱、反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)的基頻基本減小趨勢。

(4)本文基于邊跨非對稱三跨連續(xù)加勁梁懸索橋推導(dǎo)的實用近似計算公式不僅適用于邊跨非對稱的雙塔三跨懸索橋，而且對于快速計算簡支單跨或?qū)ΨQ三跨懸索橋的正對稱、反對稱豎彎和扭轉(zhuǎn)自振基頻，本文公式仍然適用，只是化簡某些參數(shù)即可。對于主纜非對稱、三塔或多塔和其他體系的基頻計算公式應(yīng)做專門研究。

參 考 文 獻

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