實現教學有效建構 助推學生思維生長

李朋

【摘 要】本文在思考數學例題教學如何超越模仿、理解和鞏固基礎知識和基本技能的層面，實現舉一反三、提高思維品質的基礎上，從心理學角度出發，提出把握教學起點、創設有效教學基礎；開辟多通道、實現思維貫通；進行問題變式、促進有效遷移三大教學策略。

【關鍵詞】數學 例題教學 多元表征 變式

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01B-0139-02

如果說概念和定理的教學成為人們關注、研究的熱點，那么例題教學就是研究者忽視的角落。在課堂教學中，例題教學是激活舊知，理解和運用新知的重要手段，是培養思維能力和創新力的關鍵。應試教育下的例題教學往往只注重方法和技能的講解，使學生記憶、模仿，停留在一招一式的層面。例題教學如何超越模仿、理解和鞏固基礎知識、基本技能的層面，實現舉一反三、提高思維品質的高度？出于對這個問題的思考，本文從心理學角度提出例題有效教學的策略。

一、把握教學起點，創設有效教學基礎

作為教學者，在教學之初應該了解教學對象的知識儲備情況，根據教學內容設計教學過程，從而達到有效教學的目的，所以教學的起點關鍵在學生，即學習者知識內存及思維發展狀況，教學者要實現有效教學就要創設條件促成學生思維的生長。下面我們通過一道例題進行教學探究。

〖例 1〗 x1 和 x2 是方程 x2-（k-2）x+k2+3k+5=0 的兩個實根，求 x12+x22 最值。

首先，教學者針對上述例題要了解問題求解背后需要的相關數學知識、定理及公式等，摸清學習者對此知識點掌握情況、相關解題技巧運用能力。比如本題主要考查完全平方公式的拆分與組合以及韋達定理的掌握，教學者在施教過程中可以通過提問相應知識點、暗示等方式來掌握學習者當前對相關知識的理解情況，從而達到有效引導和合理教學。其次，非智力因素對解題也會產生影響，應鼓勵學生積極思考，尋找未解問題與已有知識之間聯結點，教學者主動搭建平臺，因勢利導完成學生思維生長即問題的解決。

我們可以通過學生畫思維導圖的形式了解學生對問題的認知和思維的變化，將隱性思維變化顯性化。比如，以下是一個學生畫出的例 1 的思維導圖，從（圖 1）可以清晰地了解學生的知識和思維狀況。

二、開辟多通道，實現思維貫通

作為學習者對某一問題認知一般可以通過視覺、聽覺等外在感知，達到從外到內的轉化。知識的外在多元表征能夠與學習者內在認知產生交互作用，建構起對新知識認識，促進學生對問題的解決，同時多元表征系統內的關聯也對學生對問題認識起到關鍵作用。

（一）多元表征在問題中的展現。多元表征在學習者學習知識、解決問題過程中一般可以歸納為四類，文字表征、符號表征、圖表表征、實物表征（圖 2），在認知過程中可能出現一個表征或兩個以上表征。

〖例 2〗 求證：分別過已知直線外一點與這條直線上三點的三條直線在同一個平面內。

上述求證問題，學習者看到問題是以文字表征的形式出現，這就對學習者語言能力提出要求，作為教學者可以通過多元表征將文字表征轉化為其他外在形式，構建多渠道、多樣化形式理解問題達到知識的內化。針對這道題，我們除文字表征外可以采用以下幾種表征：

1.語言展示：將文字通過語言讀出來達到對學習者進行聽覺刺激的目的。

2.圖形展示：圖形展演引起學生視覺刺激，以取得數形結合的效果。

3.符號展示：符號最能體現數學特點，可使邏輯推理及思維得到傳達。這道題的符號表征如下：

已知，Dl；A，B，C∈l，且有 DAl=A，DBl=B，DCl=C，求證 DA，DB，DCa。

這個問題通過文字表征、語言表征、圖形表征、符號表征和轉譯，使問題通過多個途徑反映出來，使學生對問題理解多元化，易激活學生認知結構中相關接點，迅速找到解題策略。

（二）多元表征的轉換和轉譯。在解題方面，利用多元表征的轉換和轉譯，可使深度理解。以橢圓的第二定義的教學為例。

〖例 3〗 點 M（x，y）與定點 F（c，0））的距離和它到定直線 l∶x= 的距離的比是常數 （a>c>0），求點 M 的軌跡。

對單一表征的教學而言，從符號表征方面按照求軌跡方程的步驟推導出 M 的軌跡方程。

2008 年我們對宜州某高中進行教學實驗得到的結果表明，這樣的教學不利于學生形成對橢圓第二定義的深刻理解，看下面案例。

〖問題〗動點 M 到定點 F（-5，0）的距離和它到定直線 的距離的比是 0.6，則 M 的軌跡方程為 。

通過對橢圓第二定義的單一表征學習，大多數學生仍以軌跡方程推導的方式來完成該問題，沒有形成橢圓第二定義的多元表征及轉換、轉譯的知識圖式。

對于表征而言，數值表征比符號表征更利于接受。我們可用幾何畫板，呈現如圖 4，通過拖動圖中的 M 點，改變|MF|與 d （動點到定直線的距離）的數值大小，點 M 畫出的軌跡是一個橢圓，同時通過右邊的表格驗證 M 點滿足的條件是：|MF|與 d 的比值是常數，通過把與文字表征相近的圖形表征和數值表征呈現給學生，從而在直觀上給學生完成由“第二定義”這一符號表征向“橢圓”這一圖形表征的轉譯，再通過理論上的推導完成由“第二定義”這一符號表征向“橢圓方程”這一方程的符號表征的轉譯，從而有利于建構橢圓第二定義的多元表征圖式，達到對橢圓第二定義的深刻理解。我們的教學實驗表明，按這一策略進行教學之后的測試中，大多數學生在解決上面的問題中能通過尋找以下的關系解決該問題：

這個問題通過利用符號表征、數值表征、圖形表征以及不同表征之間的轉譯，促進學生多種內部心理發生交互加工，進行心理深加工，在問題解決的過程中促進了大腦開發。

三、進行問題變式，促進有效遷移

例題變式分成兩大類，一種就是對要解決的問題的條件、結論等進行相應改變和組合，這通常屬于在同一種表征內的變式，如例 4；另一種就是情境和表征發生改變，比如上面的例 2 和例 3 ，我們稱為表征間變式。例題變式教學使學生在解決原題的基礎上，能夠深刻理解、把握問題核心本質，產生遷移，舉一反三。

〖例 4〗 已知等腰三角形的腰長是 3，底長為 5，求周長。

這是人教版小學四年級數學下冊三角形一章的一道參考題目，我們可以將此題進行問題變式：

變式 1：已知等腰三角形一腰長為 3，周長為 11，求底邊長；

變式 2：已知等腰三角形一邊長為 3，另一邊長為 5，求周長；

變式 3：已知等腰三角形的一邊為 4，另一邊長為 8，求周長；

變式 4：已知等腰三角形的腰長為 x，求底邊長 y 的取值范圍；

變式 5：已知等腰三角形的腰長為 x，底邊長為 y，周長是 11。

請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖象。

其中變式 1 是培養逆向思維能力；變式 2 為分類的思想的運用；變式 3“底只能為 8”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，加深對三角形的理解；變式 4 把數字上升為符號，利于培養學生的抽象思維能力；變式 5 與前面相比，主要在于對條件 0

總之，通過對例題的變式教學，加深了對知識技能和思想方法的掌握和理解，培養了學生思維的深刻性、靈活性。

【參考文獻】

[1]Kaput，J.J.Representations，inscriptions，descriptions and learning：A kaleidoscope of windows[J].Journal of Mathematical Behaviour.1998，17（2）：266-281

[2]羅宇軍.優化解析幾何概念學習中多元表征的教學研究[D]，桂林：廣西師范大學，2008

[3]唐劍嵐.國外關于數學學習中多元外在表征的研究述評[J].數學教育學報，2008（1）

[4]高明，邵瑞珍.知識向技能轉化的影響因素[J].應用心理學，1997（1）

（責編 盧建龍）