探究一道與三角形有關的高考題

□王 娟

2018年高考江蘇卷第13 題是一道與三角形有關的最值題.

例1在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為________.

解法1：利用面積拆分相等.

圖1

因為S△ABC=S△ABD+S△BCD，

化簡得：ac=a+c.

當且僅當c=2a 時等號成立.

解法分析：由于已知夾角的大小，所以直接從面積公式出發(fā)，利用面積相等，從而得到邊之間的關系式.

解法2：解析幾何法.

以點B為坐標原點，BA所在直線為x軸，過點B與BA垂直的直線為y軸，建立如圖2所示平面直角坐標系.

在平面直角坐標系中，B（0，0），A（c，0），

因為A，D，C三點共線，所以kAD=kCD，即

化簡得：ac=a+c.

以下同法1.

當然建系有多種建法，我們也可以以點B為坐標原點，BD所在直線為x軸，過點B與BD垂直的直線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系.

圖3

利用三點共線同樣可以得到ac=a+c.

本題還有其他解法，這里就不一一詳述，主要針對直接運用解三角形的方法和建立直角坐標系的方法來探討一下關于這類題目的解法.

同樣類似的題目有：2011年南通一模第14 題：

例2已知等腰三角形腰上的中線長為則該三角形面積的最大值為________.

解法1：直接利用面積公式.

根據題意畫出圖形，如圖4所示.

圖4

設AB=AC=2a，由D是AB的中點，得到AD=DB=a.

該方法直接從余弦定理出發(fā)，結合面積公式，轉化為函數問題求最值.

解法2：解析幾何法.

以BC中點為坐標原點，BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立如圖5所示平面直角坐標系.

圖5

9a2+b2=12，

當且僅當3a=b時，等號成立.

所以當3a=b時，三角形面積最大值為2.

解法探究：由南通聯考題到高考題，這樣兩種思路整體建立在這兩個三角形本身有足夠特殊的地方，有異曲同工之處.比如例2 是一個等腰三角形，而例1 的三角形中有60°和120°這樣的特殊角，所以我們在除了運用最基本的解三角形的思路之外，考慮建立平面直角坐標系，運用解析幾何的方法可以更好更快速地解決問題.我們在解三角形的題目時，如果碰到三角形中存在特殊角，適當的時候可以考慮建立平面直角坐標系來解決問題.