探秘帶電粒子在圓形勻強磁場中的運動規律

朱亞軍

[摘要]文章首先根據不同的初始條件，探秘三種情形下“帶電粒子在圓形勻強磁場中的運動”規律，接著應用帶電粒子在圓形勻強磁場中的運動規律分析兩道典型的高考試題，最后拓展應用規律，解析一道全國中學生物理競賽預賽試題。

[關鍵詞]帶電粒子；圓形磁場區域；圓周運動

[中圖分類號]G633.7[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08004003

“帶電粒子在圓形勻強磁場中的運動”是磁場教學的重點和難點之一，由于帶電粒子射入勻強磁場的速度不同，導致帶電粒子在磁場中運動的軌跡、偏轉角度和運行時間等發生變化，成為學生理解、掌握和解決此類問題的一個難點，進而成為高考命題的熱點和重點。本文擬對此類問題做一些探討，供大家參考。

一、規律探究

如圖1所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場區域的橫截面（紙面），磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，P為磁場邊界上的一點。大量電荷量為q（q>0）、質量為m的帶電粒子以相同的速率v經過P點，在紙面內沿不

同的方向射入勻強磁場，試確定帶電粒子離開勻強磁場時的位置和在勻強磁場中的運動時間范圍（不計重力及帶電粒子之間的相互作用）。

帶電粒子以速率v垂直進入勻強磁場后，在洛倫茲力f=qvB作用下做勻速率圓周運動，設粒子運動的圓弧軌跡半徑為r，則有

qvB=mv2rr=mvqB，ω=qBm，T=2πmqB

帶電粒子離開圓形勻強磁場區域時的位置和在勻

強磁場中的運動時間范圍分三種情形討論如下：

（1）如果粒子射入速率v>qBRm，那么r=mvqB

，即帶電粒子運動軌跡的半徑r大于圓形磁場區域的半徑R，這時沿不同方向射入勻強磁場的粒子運動軌跡如圖2

所示。

顯而易見，沿不同方向射入圓形勻強磁場區域的帶電粒子，可能從圓形勻強磁場邊界上的任意一點沿不同的方向飛離勻強磁場區域。帶電粒子射出點和射入點之間的最大距離xmax為磁場圓區域半徑R的2倍，即xmax=2R。

運動時間最長的帶電粒子離開圓形區域勻強磁場時，射出點Q和射入點P在圓形磁場區域的同一條直徑兩端，此時帶電粒子在洛倫茲力作用下的偏轉情形如圖3所示，帶電粒子的最大偏轉角度θ由下式決定

sinθ2=Rr=qBRmv=2arcsinqBRmv

則帶電粒子運動的最長時間tmax為

tmax=θω=

2mqBarcsinqBRmv

故這種情況下帶電粒子在勻強磁場中的運動時間t在如下范圍內

0

（2）如果粒子入射速率v=qBRm，那么r=mvqB=R，即帶電粒子運動軌跡的半徑r等于圓形磁場區域的半徑R。在這種情況下，沿不同方向射入勻強磁場的粒子運動軌跡如圖4所示。

所有帶電粒子的入射點P、磁場區域圓心O、射出點Qi和軌跡圓心O′i四點構成的四邊形恰為一系列菱形POQiO′i（i=1，2，......，n），且所有菱形有一條共同的邊PO，根據菱形的幾何特性有

O′1Q1∥O′2Q2′∥O′3Q3∥O′4Q4∥……∥OP

，因此，沿不同方向射入勻強磁場的粒子射出速度方向相互平行，都垂直于PO連線。

由圖4可知，沿不同方向射入圓形勻強磁場區域的帶電粒子可能從勻強磁場右下半邊界上的任意一點沿相同的方向飛離勻強磁場區域。帶電粒子射出點和射入點之間的最大距離xmax為帶電粒子運動軌道半徑r或磁場區域半徑R的2倍，即xmax=2r=2mv/qB=2R

。

其中運動時間最長的帶電粒子離開圓形區域勻強磁場時，經歷的時間為半個周期，即帶電粒子運動的最長時間tmax為

tmax=T/2=πm/qB

故這種情況下帶電粒子在勻強磁場中的運動時間t在如下范圍內

0

。

（3）如果粒子射入速率v<πmqB，那么r=mvqB

由圖5可知，沿不同方向射入圓形勻強磁場區域的帶電粒子只能從勻強磁場邊界右下半PQ2弧（其弦長為2r）上的任意一點沿不同方向飛離勻強磁場區域。

粒子射出點Q和射入點P之間的最大距離xmax為帶電粒子運動軌道半徑r的2倍，即xmax=2r=2mv/qB<2R

。

其中運動時間最長的帶電粒子離開圓形勻強磁場區域時，經歷的時間為一個完整的周期，即粒子在勻強磁場中運動的最長時間tmax為：

tmax=T=2πm/qB

故這種情況下帶電粒子在勻強磁場中的運動時間t在如下范圍內：

0

。

二、規律應用

【例1】（2017·全國Ⅱ卷）如圖6所示，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同的方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2：v1=（）。

A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶3

解析：根據上述規律，當帶電粒子運動軌跡的半徑r小于圓形磁場區域的半徑R時，射出點和射入點之間的最大距離xmax為帶電粒子運動軌道半徑r的2倍。

設圓形區域磁場的半徑為R，帶電粒子射入的速度為v1時，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在16圓周上，如圖7所示，由幾何知識可知，帶電粒子運動的軌道半徑為r1=Rcos60°=12R

；帶電粒子射入的速度為v2時，這些帶電粒子在磁場邊界的出射點分布在13圓周上，由幾何知識可知，帶電粒子運動的軌道半徑為r2=

Rcos30°=32R

；根據r=mvqB∝v

，得v2∶v1=r2∶r1=3∶1，故正確選項為C。

點評：本題以帶電粒子在有界（圓形）勻強磁場中的圓周運動為背景，主要考查應用平面幾何知識解決物理問題的能力，解題的關鍵是知道打到磁場邊緣最遠處粒子的運動軌跡是半個圓周，最遠射出點是以射入點P點為圓心、以2r為半徑作出的圓弧與圓形磁場區域的最遠交點。

【例2】（2016·全國Ⅱ卷）一圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖9所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉動。在該截面內，一帶電粒子從小孔M射入筒內，射入時的運動方向與MN成30°角。當筒轉過90°時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒。不計重力。若粒子在筒內未與筒壁發生碰撞，則帶電粒子的比荷為（）。

A.ω3B

B.ω2B

C.ωB

D.2ωB

解析：根據題意作出帶電粒子在圓形區域磁場中運動的軌跡，如圖10所示，由平面幾何知識可得，帶電粒子在圓形磁場區域中做勻速圓周運動偏轉的圓心角θ=π4-π6×2=π6

，而帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的角速度ω=qBm，則帶電粒子在磁場中的運動時間

t粒子=θω=π6×mqB

，圓筒勻速轉過90°的時間

t圓筒=14T=π2ω

，由t粒子=t圓筒解得，帶電粒子的比荷

qm=ω3B

，選項A正確。

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動問題，解題時必須畫出帶電粒子運動的過程示意圖，結合幾何關系找到帶電粒子在勻強磁場中運動的偏轉角，根據粒子運動和圓筒運動的等時性求解未知量。

應用數學知識處理物理問題的能力不僅是學生必備的能力，更是高考考查的重點和難點。在備考復習中要有意識地養成根據題意畫受力圖、狀態圖、幾何關系圖和過程示意圖的習慣，尤其要培養識圖、讀圖、分析圖、理解圖、描繪圖和應用圖的能力，在規范解答問題的基礎上，恰當運用幾何圖形、函數圖像等進行分析、表達。

三、拓展應用

如圖11所示，坐標原點O（0，0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側沿xOy平面內的各個不同方向發射帶正電的速率為v的粒子，質量均為m，電量均為q。有人設計了一方向垂直于xOy平面，磁感應強度大小為B的均勻磁場區域，使上述所有帶電粒子從該磁場區域的邊界射出時，均能沿x軸正方向運動。求此邊界線的方程，并畫出此邊界線的示意圖。

解析：因題中沒有明確說明磁感應強度的方向，先假設磁感應強度的方向垂直xOy平面向里，且無邊界。

研究從粒子源O發出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在洛倫茲力的作用下沿逆時針方向做勻速率圓周運動，圓軌道經過坐標原點O，且與速度方向相切，圓軌道半徑R=mvqB。圓軌道的圓心O1在過坐標原點O與速度方向垂直的直線上，至原點的距離為R，如圖12所示。通過O1作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點，粒子運動到P點時其速度方向恰好沿x軸正方向，故P點就在磁場區域的邊界上。

對于不同入射方向的粒子，對應的P點的位置不同，所有這些P點的連線就是所求磁場區域的邊界線。P點的坐標為

x=-Rsinθ，y=-R+Rcosθ。

這是粒子射出點磁場區域邊界的參數方程，消去參數θ，得x2+（y+R）2=R2。這是半徑為R、圓心O2坐標為（0，-R）的圓，故磁場區域粒子射出的邊界線方程為

x2+y+mvqB2

=

m2v2q2B2

本情形所求磁場區域的邊界線如圖13所示，由三部分組成：第一部分是第一象限的小半圓弧OA（r1=R），它是發射角θ=0的粒子圓軌道的右半部分；第二部分是第二、三象限的大半圓弧ABC（r2=2R），由發射角在0<θ<π范圍內的所有粒子圓軌道的包絡線構成；第三部分是第三象限的小半圓弧OC（r3=R），由所有粒子的射出點構成。

如果磁場方向垂直于xOy面向外，類似于上述的分析過程，可得磁場區域粒子射出的邊界線方程為

x2+

y-mvqB

2=m2v2q2B2

，x≥0y≥0

本情形所求磁場區域的邊界線如圖14所示，看似一個完整的圓，實則由二部分組成：第一部分是第一象限的半圓弧OA（r1=R），由所有粒子的射出點構成。第二部分是第二象限的半圓弧ABO（r2=R），它是發射角θ=π的粒子運動的半圓軌道。

帶電粒子在有界勻強磁場中的運動問題是高中物理教學中的一個難點，也是高考的熱點。這類問題綜合性強，分析這類問題既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運動等知識，又要用到數學中平面幾何、三角函數等知識。其本質關乎兩個圓：磁場區域圓和粒子運動圓，厘清這兩個圓的半徑大小、圓心位置及其幾何關系是解決這類問題的關鍵。

（責任編輯易志毅）