把握問題本質數形結合化解

吳先名

[摘要]縱觀近幾年中考題可發現，以一次函數與反比例函數為載體的綜合題出現的頻率較高.這類題目考查反比例函數的圖像性質、解方程組等知識點，求解過程需要把握問題本質，應用數形結合思想.

[關鍵詞]一次函數；反比例函數；數形結合思想

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08003202

近年來，以一次函數與反比例函數為載體的綜合題成為中考的熱點題型，用以考查學生圖像分析、邏輯推理和解決問題的能力，下面例談此類型題的解法.

一、真題解析

1.真題呈現

【例1】（2017年武漢市中考卷第22題）如圖1所示，直線y=2x+4與反比例函數y=kx的圖像相交于A（-3，a）和B兩點.

（1）求k的值；

（2）略；

（3）直接寫出不等式6x-5>x的解集.

2.試題解析

分析：（1）求反比例函數解析式的參數的值，只需要確定函數上一點即可，而點A既在直線上又在雙曲線上，從而可求解；（3）y=6x-5的圖像相當于將函數y=6x向右平移了5個單位，求6x-5>x的解集，實際上是函數y=6x-5與y=x的交點問題，分析圖像即可.

解：（1）點A在直線上，將（-3，a）代入y=2x+4，解得a=-2，則A（-3，-2），點A又在y=kx的圖像上，解得k=6.（3）函數y=6x-5在x=5處趨于無窮大， 求交點y=6x-5y=x

，得x=-1，y=-1或x=6y=6，兩函數圖像的交點為（-1，-1）和（6，6），則6x-5>x的解集為x<-1或5

3.試題點評

本題目為一次函數與反比例函數的綜合題，主要考查學生對曲線上點坐標與方程關系的理解以及圖像的分析應用能力.對于反比例函數系數，充分利用其幾何意義根據圖像上點的坐標來求解；對于不等式求解問題，其本質上還是求圖像的交點問題，利用轉化思想將其轉變為分析函數圖像交點，通過解方程組的形式求交點坐標，然后結合函數圖像分析求解.分析轉化，圖像結合是實現問題簡化的一種重要途徑，數形結合是解決函數綜合題重要的思想方法，該解題思路對于同類型題具有指導意義.

二、思路剖析

一次函數與反比例函數綜合題對于鍛煉學生思維具有重要作用.結合函數解析式分析自變量取值問題，要分析轉化，利用解方程求交點的方式來解答，其中解題的關鍵是交點坐標的確定，需要結合圖像來分析.

【例2】（2016年廣東梅州中考卷第19題）如圖2所示，已知在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A（2，5）在反比例函數y=kx的圖像上.一次函數y=x+b的圖像過點A，且與反比例函數圖像的另一交點為B.

（1）求k和b的值；

（2）設反比例函數值為y1，一次函數值為y2，求y1>y2時x的取值范圍.

分析：（1）k和b分別為反比例函數和一次函數解析式的系數，點A在兩函數圖像上，可利用點的坐標來求參數的值.（2）實際上就是求反比例函數圖像位于一次函數圖像之上時x的區間，也就是求圖像的交點問題，可先確定交點坐標和再結合圖像求解.

解：（1）將A（2，5）分別代入函數y=kx和一次函數y=x+b中，可得

k=10b=3

.

（2）求交點B的坐標，由

y=10xy=x+3

，解得

x=2y=5

或

x=-5y=-2

，則B（-5，-2），根據圖像可知y1>y2時x的取值范圍為（-∞，-5）∪（0，2）.

【例3】（2015年甘孜州中考卷第19題）如圖3所示，一次函數y=-x+5的圖像與反比例函數y=kx（k≠0）在第一象限的圖像交于A（1，n）和B兩點.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）在第一象限內，當一次函數y=-x+5的值大于反比例函數y=kx（k≠0）的值時，寫出自變量x的取值范圍.

解：（1）一次函數y=-x+5經過點A，可求得n=4，則點A（1，4）.反比例函數y=kx（k≠0）也經過點A，代入解得k=4，所以反比例函數的解析式為y=4x.（2）求一次函數與反比例函數的交點坐標，由

y=4xy=-x+5

，解得

x=1y=4

和

x=4y=1

，則點B（4，1）.根據圖像分析可知，在一象限內，當一次函數的值比反比例函數的值大時，x的值必須位于A和B橫坐標之間，即1

三、解后反思

1.歸納整理問題，把握問題本質

無論是求解不等式還是求自變量的區間實際上都是關于一次函數與反比例函數的交點問題，都需要通過解方程組的方式來確定圖像的交點坐標.問題是由函數概念、公式、性質等構成的，考查的形式雖有不同，但問題的本質是一致的，有效分析問題，把握問題的本質才是解決問題的關鍵.在復習教學中要指導學生從題海戰術中轉變到問題的歸納整理中，引導學生揭示問題結構，挖掘問題本質，深刻理解問題的考查意義.

2.探究知識本質，掌握轉化思想

對于一次函數與反比例函數的綜合題，解題過程都采用了問題轉化的方式，將較為抽象的代數問題，簡化為直觀的圖像分析問題，為問題的解決打開了突破口.實際上數學問題的解答過程就是不斷轉化，不斷簡化的過程，在這個過程中問題逐步由難到易，從抽象到直觀，最終利用基礎知識即可求解.教師要引導學生理解概念、定理的本質，了解知識間的聯系，通過結構分析，方法探究的方式引導學生學習轉化思想，掌握轉化方法，提升解題能力.

3.學習數形結合，發展數學思維

本題目很好地詮釋了數形結合對于思考和解決問題的便利性，通過數形互助的方式可為學生有效把握問題本質，探究解決問題的最佳思路，準確作答提供保障.數形結合是一種重要的思想，對于初中函數問題的學習具有重要的意義，學習和使用數形結合思想可促進學生思維的發展.教師要結合教學內容使學生充分認識“數”與“形”的關系，培養學生數形結合的意識，通過實際問題引導學生掌握數形結合的方法，獲得解決問題的策略，促進學生數學思維的發展.

（責任編輯黃桂堅）