高中數學條件概率問題研析

周根旺

[摘要]學生在學習條件概率時主要存在基本事件空間理解不清和抽取時是有序還是無序分不清的問題，教師應引導學生厘清關系，從而走出解題困境.

[關鍵詞]條件概率；基本事件；抽取；有序；無序

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08003001

條件概率是概率論中的一個重要而實用的概念，也是高考考查的一個難點.學生在解決條件概率問題時容易出現以下問題，教師應想方設法引導學生走出解題困境.

一、基本事件空間理解不清

【例1】一個家庭中有兩個小孩，假定生男生女是等可能的.已知這個家庭有一個是女孩，問另一個小孩是男孩的概率是多少？

錯解1：設事件A：“此家庭有一個是女孩”，事件B：“另一個小孩是男孩”，則，

P（A）=1×22×2=12，P（AB）=12×2=14，P（B|A）=P（AB）P（A）=12.

錯解2：n（A）=2，n（AB）=1

，P（B|A）=n（AB）n（A）=12

.

錯因分析：本題指的是“有一個是女孩，另一個是男孩的概率”并不是“第一個是女孩，第二個是男孩的概率”.計算條件概率時，要把基本事件空間理解清楚，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則計算P（A）、P（AB）時樣本空間為Ω，計算P（B|A）時樣本空間為A.

正解1：一個家庭的兩個小孩只有4種可能：{兩個都是男孩}，{第一個是男孩，第二個是女孩}，{第一個是女孩，第二個是男孩}，{兩個都是女孩}.由題意知這4個事件是等可能的，設基本事件空間為Ω，A=“其中一個女孩”，B=“其中一個男孩”，則Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（男，女），（女，男）}，

∴P（AB）=24，P（A）=34，∴P（B|A）=P（AB）P（A）=

24

34

=23

.

正解2：由上可知，n（A）=3，n（AB）=2，∴P（B|A）=

n（AB）n（A）=23

.

點評：在等可能事件的問題中，理解基本事件空間是關鍵.

二、是有序抽取還是無序抽取分不清

【例2】從混有5張假幣的20張百元鈔票中任意抽取2張，將其中1張放在驗鈔機上檢驗發現是假鈔，求2張都是假鈔的概率.

解：設事件A：“抽到兩張都是假鈔”，事件B“其中一張是假鈔”，則所求概率為P（A|B），

∴P（AB）=P（A）=C25C220，

P（B）=C25+C15C115C220，

P（A|B）=P（AB）P（B）

=C25C25+C15C115

=1085

=217

.

疑惑1：在計算事件B：“其中一張是假鈔”的基本事件數目時，有學生這樣想：“有一張是假鈔，另一張任意，所以只需要先從5張假鈔中選出一張，再從剩余的鈔票中任意選一張，則共有C15C119個基本事件.”

∴P（AB）=P（A）

=C25C220，

P（B）=C15C119C220，

P（A|B）=P（AB）P（B）

=C25C15C119

=1095

=219.

解惑：“其中一張是假鈔”的基本事件為C15C119是錯誤的.此計算中當取出兩張都為假鈔時，兩張假鈔之間是沒有順序的，但在計算中，先取后取人為地增加了順序.因此，相當于取出兩張都為假鈔的基本事件多算了1倍，即多算了C25個.“其中一張是假鈔”等價于“抽到兩張中至少有1張假鈔”，所以根據分類計數原理可知基本事件數為：C25+C15C115.

疑惑2：抽取時有序還是無序？本題按照有序計算可以嗎？

學生在解決問題時往往對是否有序存在疑惑.有學生這樣解：

∴P（AB）=P（A）=A25A220，

P（B）=A25+A15A115A220，

P（A|B）=

P（AB）P（B）

=A25A25+A15A115

=2095

=419.

解惑：“其中一張是假鈔”按照有序計算應分為“假假”“假真”“真假”三類，基本事件數目為A25+2A15A115.

P（A|B）=P（AB）P（B）

=A25A25+2A15A115

=217

.

拓展：求“第1張是假鈔（C事件）時，第2張為假鈔（D事件）”的概率.

解：P（C）=

A15A119A220，

P（CD）=A25A220

，

P（D|C）=P（CD）P（C）

=

A25A220

A15A119A220

=

419

.

綜上可知，學生只有對條件概率的概念、性質及相關公式進行透徹理解，才能走出解題誤區，有效解決條件概率問題.

（責任編輯黃春香）