探索以圓為背景的綜合題解法

雪年志

[摘要]圓是初中幾何的重點和難點，圓的考查往往與三角形、三角函數和平面直角坐標系相結合，這類問題具有一定的綜合性.研究這類問題的解法具有一定實際意義.

[關鍵詞]圓；三角函數；綜合題；解法

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002102

作為初中幾何中的重要內容，圓的考查在中考中是不可或缺的，與圓相關的考題在近年的中考中也是層出不窮.因此，對以圓為背景，與三角形相結合的問題，有必要做一個專題總結.筆者在這方面做了一些研究.

一、聯系中考，原題再現

【例1】（2017年蘇州市中考第27題）如圖1，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD，CD與OE交于點F.

（1）求證：△DOE∽△ABC；

（2）求證：∠ODF=∠BDE；

（3）連接OC，設△DOE的面積為S1，四邊形BCOD的面積為S2，若S1∶S2=2∶7，求sinA的值.

分析：

（1）由于AB是圓的直徑，而∠ACB是直徑所對的圓周角，所以ACB=90°，而DE⊥AB，∠DEO=90°，∠DEO=∠ACB.根據OD∥BC，可知∠DOE=∠CBA，所以兩個三角形的三個內角分別相等，所以△DOE∽△ABC.

（2）因為△DOE∽△ABC，所以∠CAB=∠ODE=∠ODF+∠FDE，根據“同弧所對的圓周角相等”，所以∠CAB=∠BDC，所以∠ODF+∠FDE=∠BDE+∠FDE，等式兩邊同時消去∠FDE，所以∠ODF=∠BDE.

本題主要考查以圓為背景的平面幾何知識，通過證明兩個三角形相似引出接下來的問題.第2問主要考查圓的相關性質.最后一問則具有一定的難度，但是只要認真分析，也能夠很好地解決問題.通過圓與三角形的結合，深化了對初中數學中知識的考查效果，對學生的綜合能力提出了比較高的要求.

二、結合條件，巧添輔助線

由于圓的特殊性質，許多條件都比較隱蔽，需要通過添加輔助線才能更好地利用這些條件.輔助線的添加能夠讓問題的解決變得更加簡單，能夠起到事半功倍的效果.接下來的例題就是通過添加輔助線來解決.

【例2】（2017年甘肅省中考模擬題）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，過點D作DE⊥AB于點E，ED、AC的延長線交于點F，EF是⊙O的切線.請問如果EB=32，且sin∠CFD=35，⊙O的半徑以及線段AE的長各是多少？.

分析：

已知sin∠CFD和EB，求圓的半徑及AE，可以利用△ODF和∠AEF均為直角三角形的特殊性，用邊長比值表示sin∠CFD的值.即

上述解題過程充分利用三角函數的定義建立圓內線段的關系，并結合幾何性質來實現了問題的解答.通過結合題目中的已知條件，巧妙地添加輔助線，再利用同角直角三角形，通過三角函數的相關知識，解決了問題.

三、結合坐標軸，問題再深化

以圓為背景的問題也常常與平面直角坐標軸相結

.

本題根據單位圓的性質，巧妙地將P點的坐標用三角函數的形式表達出來，通過三角函數與圓的有機結合，通過點的坐標將三角形的邊長表示出來，再利用三角形的面積公式列出式子，巧妙地解決了問題，簡化了解題過程，大大地提高解題效率.

對于以圓為載體的幾何題要充分利用圓的幾何性質，通過添加輔助線，提取特殊圖形，利用坐標系，實現問題轉化，從而快速地解決.這類問題一般都具有一定難度，需要學生具備扎實的基礎知識才能解決問題.所以，學生在平時的復習中也要多做這類問題的練習，建立相應的知識體系，才能做到以不變應萬變.

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（責任編輯黃桂堅）