精選習題漸次推進 聚焦目標提升效度
——以坐標系中面積探究習題講評課為例

■沈麗婧

近期筆者有機會聽某年輕教師的一節(jié)匯報課，教材上并沒有相關的課例。該教師針對平面直角坐標系新授課之后，學生家庭作業(yè)中出現(xiàn)的一些錯誤增設出一節(jié)習題課，精心選題，歸類講解了在平面直角坐標系中的三角形面積的探究，題型比較豐富，訓練量很大，應該說對這類問題的應試輔導是到位的，也是有效的。要想讓課堂教學更有品質，各個教學環(huán)節(jié)之間更有關聯(lián)，不同例、習題之間更有聯(lián)系，我們還可以怎樣設計與構思呢？帶著這些問題，本文將該課的一些主要選題摘抄一部分呈現(xiàn)，并本著教學研討的目的，重新給出教學設計的簡案，拋磚引玉。

一、聽課摘錄

題型1 如圖1所示的平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A（0，0），B（6，0），C（5，5）。求△ABC的面積。

圖1

聽課記錄：學生匯報解題思路之后，教師小結了求這種三角形面積的關鍵是利用點C的縱坐標為高來計算。

題型2 在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，2），C（1，1），則△ABC的面積為________。

聽課記錄：師生合作畫出圖形，如圖2，過A，B，C三點作坐標軸的平行線，補成四邊形CDEF，先分析得出D（1，4），E（4，4），F(xiàn)（4，1），

圖2

題型3 已知平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過A（a，0）和B（0，-5）兩點，且直線AB與兩坐標軸圍成的直角三角形的面積為10，求a的值。

聽課記錄：先構造出草圖進行分析，師生互動探討了A點所在位置（x軸上任意一點），學生最初只考慮了一個解，為了糾錯和防控漏解，教師啟發(fā)學生從絕對值方程的角度來思考，列出絕對值方程·|a|·|-5|=10，解得a=±4。最后，在圖形上給出A點兩處可能的位置（如圖3）。

圖3

題型4 在平面直角坐標系xOy中，有4個點A（-6，0），B（-5，2），C（-1，4），D（1，0），順次連接AB，BC，CD，AD，得到四邊形ABCD。求四邊形ABCD的面積。

聽課記錄：有學生先想到將四邊形補成一個大的長方形，然后依次減去一些三角形的面積；教師對學生基于“補”形的思考策略表示了肯定，接著提示，是否可以采用“割”的方法呢？于是，有學生提出過點B作BP⊥x軸于點P，過點C作CQ⊥x軸于點Q。直角三角形ABP的面，Rt△CDQ的面積形BPQC的面積=×4×(2+4)=12，所以四邊形ABCD的面積=1+4+12=17。這樣問題也獲得了解決。

聽課隨感：課中，上述4種題型較好地涵蓋了平面直角坐標系中求三角形面積的常考題型，學生訓練之后普遍感覺不錯，在課堂小結中表示對這類問題都更有信心。在教師隨后鏈接的一些同類訓練題中，學生的正確率也較高。應該說這節(jié)課的教學還是富有成效的。

二、教學再設計

筆者從平面直角坐標系的概念復習出發(fā)，漸次生成系列問題，讓各個教學環(huán)節(jié)融為一體，如中國古代山水畫卷一樣，緩緩展開。

（一）復習引入

師：同學們，前面我們剛學習了平面直角坐標系，大家會用一個有序數(shù)對表示平面內(nèi)一個點的位置，現(xiàn)在我們來練習一道習題（給學生發(fā)的學案上已備好幾個平面直角坐標系，教師在黑板上也畫好一個直角坐標系備用）。

問題：在平面直角坐標系xOy中，描出A（-2，3），B（2，-2），C（-1，-2），D（3，2），E（-3，0），F(xiàn)（0，-3）。

教學組織：師生合作，復習舊知，得出平面直角坐標系xOy以及6個點，如圖4。

圖4

師：這節(jié)課，我們就圍繞這六個點，選取其中兩個或多個來研究相關圖形的面積。先看問題1：在圖4中，連接AO，AE，OE，得到△AEO，怎樣求它的面積？

教學組織：學生應該能直接讀出這個三角形的面積，教師追問是怎樣做的，在追問中學生形成對點A的縱坐標與三角形高之間的關系的認識。

（二）“補形法”求解坐標系中任意三角形的面積

問題2：如圖4，連接AO，AD，DO，BD，OB，求△ADO和△BOD的面積。

教學組織：這兩個三角形的面積都可以通過補形的方法來求出，將其補成梯形或長方形，然后再減去“周邊”三角形，可安排學生上臺展示他們的補形與意圖。

（三）“分割法”求解坐標系中任意四邊形的面積

問題3：如圖4，連接AO，AE，CE，OC，求四邊形AOCE的面積。

教學組織：學生仍然可以將這個四邊形補成一個大的長方形，并逐個減去“周邊”三角形。作為多解訓練的需要，要啟發(fā)學生能否將其分割求解呢。學生會想到將這個四邊形分割為兩個三角形的面積（△AOE，△COE）來求和。

變式問題1：求四邊形CDBF的面積。

（四）探究具有特殊位置關系的三角形面積算法

問題4：分析計算△COE，△BOE的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能解釋這種發(fā)現(xiàn)嗎？

教學組織：學生計算出它們的面積相等后，通過師生互動對話，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的底相同（OE），高相等（點B，C的縱坐標相等）。

變式問題2：若另有一點M（m,0），當△AOM的面積為3時，求m的值；

變式問題 3：若另有一點 N（n，-2），當△NCD的面積為6時，求n的值。

教學組織：變式問題主要是坐標中含有一個參數(shù)，另一個坐標為常數(shù)，學生需要先解讀出這樣的點在某一直線上，然后再畫出草圖分析，分類討論。

三、進一步的思考

在當下的數(shù)學教學中，習題講評課幾乎每天都上，作業(yè)講評、周練講評、階段檢測卷講評、期中期末卷講評等，然而多數(shù)習題講評課總是對照習題資料的順序，一題接著一題往后講，鮮有針對同類題型或某一種方法或某種解題策略而研發(fā)的習題講評課型，這是值得我們反思和重視的。

（一）習題講評課的備課要精心選題并同類跟進。

習題講評課首先要精心選題，針對學生作業(yè)過程中出現(xiàn)的普遍、共性問題，選定講評主題，然后有針對性地挑選相關問題，歸類講解，漸次展開（如上文中后一種教學設計），讓學生抬級而上，逐個突破，做一題，會一類，通一片。在講評之后，還應該進行同類跟進的訓練，這樣就可有效反饋學生是否真正弄懂、掌握。

（二）習題講評課應該有目標意識，重視內(nèi)容效度。

如前所述，當前習題講評課的一個現(xiàn)狀是就題講題，講完一題接著講另一題，題目之間知識點、方法策略等層面往往差別很大，很多時候學生還沒有來得及消化前一題，教師又開始講解下一題了，造成習題講評的教學效率低下。這種現(xiàn)象的應對策略首先是要讓教學“慢”下來，慢下來就是要增強習題教學的課時教學目標意識，想講評一類習題就要先搜集出同類習題作為題組呈現(xiàn)出來，這樣習題課的內(nèi)容效度就得到了保證，然后再跟進同類訓練，習題講評的效率也就得到了提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學）

參考文獻

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［4］]沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復習的實踐與思考——以一組“關聯(lián)試題”復習為例［J］.中學數(shù)學，2017（3下）：36-37.