轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學解題中的應用

賈堃邦

解決數(shù)學問題的思想方法是學好數(shù)學的關(guān)鍵，它是打開數(shù)學世界的“金鑰匙”。那么轉(zhuǎn)化思想方法就是數(shù)學思想方法的核心、重中之重。目前高中的數(shù)學存在“”入門難”、“程度高”、“課時緊”等一系列難度問題。面對這樣的形勢，大部分剛升入高中的學生一時間難以適應這種強度的教學內(nèi)容，存在眾多困難。無論是學生還是老師，都希望找到合適的數(shù)學思想方法，從而解決數(shù)學上的難題。那么，重視思想方法的挖掘與應用，是老師和學生目前重要的教學任務和學習任務。

轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學中有著很重要的地位，是數(shù)學思想中的核心和要害。什么是數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，就是將難以理解、難以解決的問題，用等價的方式，把原有的問題轉(zhuǎn)化成容易理解、容易讀懂的問題，使有難度的問題簡單化。比如：它可以將語言描述的問題轉(zhuǎn)化成以圖形表達的方式，或者將圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題。這種思想轉(zhuǎn)化包含了數(shù)學中的數(shù)、式、形之間的相互轉(zhuǎn)化。

一、簡單化熟悉化原則在三角函數(shù)問題中的應用

簡單化熟悉化原則是指將難以理解、較為復雜的問題轉(zhuǎn)化為容易讀懂、簡單的問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題來解題。這種解決數(shù)學問題的方法，是高中數(shù)學中做題的重要方法之一，是學生不可缺少的方法。它的形成是需要通過長期的學習基礎知識、不斷地積累基礎操作和基礎方法獲得。因此，這個原則既是掌握基礎題型方法、基礎知識的方法，又是將復雜的數(shù)學問題逐步分解成基礎問題的重要方法。簡單化熟悉化原則在高中三角函數(shù)中應用最多。比如：已知向量m=（cosA，sinA），n=（6，2），mn=-2且A為銳角。（1）求角A的大小。（2）求函數(shù)f（x）=sin2x+4sinAcosx（x∈R）的值域

解題步驟：先通過化簡，將復雜的題一步步簡單化，再思考兩者之間的數(shù)學關(guān)系以及聯(lián)系之前做過的題型，將題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的題型；最終是利用熟悉的三角函數(shù)公式，將其中轉(zhuǎn)化的數(shù)字帶入公式中，以簡化難。

二、和諧化直觀化原則在不等式的最值問題中的應用

和諧化原則是指轉(zhuǎn)化問題的表述方式。將條件、問題，以符合數(shù)學內(nèi)部邏輯的形式聯(lián)系在一起并表達出來。直觀化原則是指將抽象、不容理解的概念以及數(shù)理關(guān)系，以直觀的形式展現(xiàn)在學生面前。

在解決幾何的問題中最容易運用數(shù)形結(jié)合的方法，也可以利用代數(shù)的方法來解決幾何問題。在數(shù)學中我們常常將數(shù)、形、式之間進行轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化的過程中獲得解決問題的思路。如出現(xiàn)函數(shù)就會聯(lián)想到與它相關(guān)的函數(shù)公式、函數(shù)定理，以及相關(guān)的圖象是什么樣子，所具有的特點是什么，它們之間又有怎樣的聯(lián)系等等。在求解或驗證等式或數(shù)式的最值問題時，可分析已有的條件，運用已知的條件構(gòu)造出能夠形成的等式和數(shù)學關(guān)系，再轉(zhuǎn)化問題的條件加上形成的等式，通過數(shù)、形、式結(jié)合起來，解決問題。比如：f（x）=cosx+cos2x=cosx+2cosx-1=2t+t-1【其中t=cosx∈[-1，1]】則f（x）的最大值是當t=cosx=1時取得的，是2，最小值是當t=cosx=-1/4時取得的，是-9/8

解題思路：將三角函數(shù)與二次函數(shù)掛鉤，通過三角函數(shù)公式的轉(zhuǎn)化，把（x）=cosx+cos2x轉(zhuǎn)化成cosx+2cosx-1，再將cosx用t來表示，從而形成f（x）=2t+t-1這樣的二函數(shù)，再通過畫圖得知最大值和最小值，從而做到數(shù)形結(jié)合。

三、正難則反原則在證明題與概率與排列組合問題中的應用

正難則反原則是指當問題順著討論時出現(xiàn)問題時，可以反面的想法倒著思考，考慮從問題的另一面解決困難。正難則反問題是解決數(shù)學問題中常見方法之一，它可以培養(yǎng)學生的逆向思維。如證明題的反證法就是運用其逆否等價命題來求證，如概率與排列組合問題中常會出現(xiàn)至多或至少這樣的問題，可以通過比較問題本身與它的對立事件問題的關(guān)系來推理出答案。比如：如果一個三角形的兩條對邊不相等，那么這兩條邊所對的兩個角不相等。

解題思路：如果三角形里面有2個角度相等，那么由等角對等邊可以推出對應的2條邊相等那么和我們已知的兩邊不相等矛盾，所以原假設不成立，三角形里面對應的2角不相等.思路就是由結(jié)論推出偽命題.得出跟公理定理相矛盾從而證明這個偽命題不成立。

四、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學應用題中的應用

數(shù)學思維除了能夠數(shù)學上的問題之外，可以將數(shù)學思維與生活實踐的聯(lián)系，指導學生通過研究數(shù)學思維解決實際問題的能力。這一教學方法的轉(zhuǎn)變成為近幾年新課改的一個重要的話題，也是社會和教育所要求的改革方向。

教學中，教師應該嘗試從實際生活中提出與數(shù)學相關(guān)的問題，引導學生用數(shù)學知識解決生活中的實際問題，這樣有助于學生靈活的運用自己所學，從而培養(yǎng)數(shù)學運用的思維能力。實際上數(shù)學問題能夠運用到生活中的方方面面，小到生活中的購物計算，大到信息計算、天體計算，這些都需要學生自我思考，認真理解。比如，數(shù)列模型，數(shù)列函數(shù)作為特殊的函數(shù)，在生活中起到重要的作用。例如，在我們?nèi)粘嶋H生活中有存款、貸款、分期付款等類似的經(jīng)濟問題都可以歸結(jié)為數(shù)列問題，它們都用了等差數(shù)列和等比數(shù)列函數(shù)的特點來解決。因此，在人們的日常實際生活中，等差數(shù)列、等比數(shù)列是表現(xiàn)日常經(jīng)濟活動的基本數(shù)學問題。掌握這些模型，對于學生利用數(shù)學知識解決問題、發(fā)展運用意識是十分重要的，也有利于數(shù)學和生活實際緊密的聯(lián)系在一起。

曾經(jīng)有數(shù)學家提過： “數(shù)學是一種理性的思維，可以將人類的思維發(fā)散開來，使人的思維達到一個最佳的狀態(tài)”。那么數(shù)學思想方法作為解決數(shù)學問題的指引，是數(shù)學觀念形成的重要成員，而轉(zhuǎn)化思想方法是數(shù)學思想中的“金牌”。需要教師在教學過程不斷地培養(yǎng)和教導學生，而學生需要在學習和做題中，不斷積累。最終，形成自己的解題思路。

從轉(zhuǎn)化思想的定義與運用的原則出發(fā)，結(jié)合具體的解題事例分析每個原則運用的方式和思路。而這些原則方法雖然看起來孤立，但實際上他們相互聯(lián)系，相互配合，在一定的題型上組合出新的解題原則。如何讓這些原則在學生解題中靈活運用，這就需要教育者潛心研究，并不是一味的教方法，而是引導學生自己發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，并在自己做題的過程中，打破院有的解題思想，創(chuàng)造出新的解題思路，將轉(zhuǎn)化思想靈活的運用到自己的學習中。因此，數(shù)學解題的思想方法需要老師和學生共同研究和配合。