讓數學文化走進課堂
——以“黃金分割”的內涵與賞析課為例

何 丹，劉 銀

（江蘇省鎮江第一中學,江蘇 鎮江 212000）

教育是強國之基，以習近平新時代中國特色社會主義思想鑄魂育人，踐行“立德樹人”新要求，傳播進步與美的思想文化。依據高中數學課程標準（2017年版）基本理念，引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。蔡元培先生在《教育大辭書》中說：“美育者，應用美學理論于教育，以陶養感情為目的者也。”獲得美的體驗才會追求美、創造美。教學中以數學文化為載體，將數學美滲透到學生心中，激勵精神、溫潤心靈。于是，在一次校際教研活動中，筆者設計了黃金分割的內涵與賞析這一節課。大膽嘗試數學文化進課堂的實踐研究，選定課題，經歷了資料查閱、教學設計、教學模擬、教學研討，資料再次查閱、教學再次設計、教學展示、教學評價等教學環節。旨在讓學生走近黃金分割，欣賞比例美與和諧美，領悟數學內在之和諧美，并應用到現實中。課堂上學生積極動手動腦，思維飛揚，聽課教師反響熱烈，師生陶醉于數學之美中，現將教學設計展示如下。

一、數學文化融入新課程的重要性

數學具有文化屬性、美學屬性，學習并賞析數學文化是數學教學的一個重要方面。國內最早注意數學文化的是北京大學教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數學與文化》中記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。齊民友先生的《數學與文化》，從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值。黃秦安教授認為數學是超越學科范圍的觀念、意識、心理、歷史、事件、人物和數學傳播的總和。張奠宙先生指出數學教育是為了欣賞數學文化和數學思維的真善美。高中數學課程標準（2017 年版）指出：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成與發展；還包括數學在人類活動、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。將數學文化融入新課程，引導學生感悟數學的文化價值和審美價值顯得尤為重要。

二、課例展示

環節1：認識黃金分割

黃金分割問題的研究起源于古希臘畢達哥拉斯學派，畢達哥拉斯從鐵匠鋪的打鐵聲中受到啟發，反復測量比較鐵錘和鐵砧的尺寸，發現優美和諧的聲音來源于恰當的比例。歐多克索曾提出：“能否將一條線段分成不等的兩部分，使較短線段與較長線段比等于較長線段與原線段之比？”公元前300 年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索的研究成果，進一步系統論述了黃金分割。黃金分割與幾何、代數、數列密不可分，因其蘊含的美學價值，被廣泛應用于各領域。

活動1：探索美的比例

學生畫五角星，教師展示正五角星圖片，大家都認為正五角星美觀。五星紅旗上有正五角星，許多國家國旗上有正五角星，畢達哥拉斯學派以正五角星為標志。

問題1 人們如此鐘情于正五角星，它有什么特殊之處？

借助視頻指導學生用大小不一的正方形彩紙折出正五邊形，連接頂點，得到正五角星。將正五邊形中的線段交點做標記，如圖1。測量并計算：____;____。學生發現這三個比值都接近0.618。

圖1

點N 將線段AC 分成兩段，若較長線段與原線段之比等于較短線段與較長線段之比，即，則稱線段AC 被點N 黃金分割，點N 為線段AC 的黃金分割點，AN 與AC 的比值為黃金分割比。正五角星中因蘊含了黃金分割比而特殊且美觀。

問題2：你能求出黃金分割比的精確值嗎？

學生小組探究，設線段AC 為1，AN 為x，由線段比值關系得到方程x2+x-1=0，求出精確解。又一小組發現正五角星的頂角為 36°，解三角形可得黃金比也可表示為2sin18°。

設計意圖：折紙是一項寓教于樂的活動，學生積極參與，探索幾何圖形中美妙的線段比，愉快的感覺來自恰當的比例，感受數學代數之美。

環節2 欣賞黃金分割之幾何圖形美

正五角星因黃金比而美麗，稱為黃金五角星。連接其中間正五邊形頂點，得到一個較小的正五角星，在較小的正五角星內重復上述操作得到更小的正五角星。借助GeoGebra 軟件展示這一動態變化過程，得到更多更小的正五角星（如圖2），這種自相似性讓人為之著迷。

圖2

活動2：尋找和諧美觀的黃金圖形

正五邊形的一條對角線上有4 組黃金分割線段，這些線段組成新的圖形。比如 ΔBED，ΔEDM，ΔDHM，底邊與腰的比值為黃金比，稱為黃金三角形（如圖3）。比如梯形ABCE，腰與下底邊的比值為黃金比，稱為黃金梯形（如圖4）。在正五邊形中這樣極具美感的梯形有5 個，三角形則多達20 個。生活中還有其他黃金圖形，如黃金矩形，其寬與長之比約為0.618。黃金橢圓離心率為。這些圖形因黃金比而和諧美觀。

圖3

圖4

活動3：應用黃金分割比

世界各地建筑中常有黃金分割的影子，上海東方明珠電視塔的上球體到塔底距離與整個塔高之比約為0.618，古埃及金字塔地面的邊長和高之比都接近于0.618。帕特農神廟、多倫多塔、巴黎圣母院等建筑都應用到黃金分割比，雄偉、壯闊的建筑結構讓人賞心悅目。意大利畫家達·芬奇運用黃金矩形構圖，如《蒙娜麗莎》《維特魯威人》等。

世界藝術珍品維納斯女神的上半身和下半身比值接近0.618，堪稱魔鬼身材。形體優美，動作優雅的芭蕾舞演員踮腳尖跳舞，是為了讓上半身和下半身的比值接近0.618。體形健美者的容貌外觀中，至少有18 個黃金分割點。比如肚臍是頭頂與足底的分割點、咽喉是頭頂與肚臍的黃金分割點、膝關節是肚臍與足底的黃金分割點。

問題3：你能讓媽媽擁有黃金比例身材嗎？

愛美之心，人皆有之，尋找自己身體中的黃金分割。設計高跟鞋給媽媽，讓她擁有迷人的黃金比例身材。

設計意圖：引導學生找出正五邊形中的黃金圖形，欣賞藝術創作中的幾何圖形之美。由雕塑形體之美到尋找自己身體中的黃金分割，讓學生感悟美，并設計高跟鞋應用黃金分割之美。

環節3：領悟黃金分割之代數美

數，美麗而玄妙，組成奇幻的數字世界。當數與數結合，變成一列數，創造出浩瀚而旖旎的數字星空，在大自然的數字密碼中尋找黃金分割。

活動4：探索黃金分割之代數美

欣賞一些花朵圖片，數一數花瓣數目：2、3、5、8、13……

問題4：這些數字讓你想到哪個數列？與黃金分割有什么關系？

學生發現這是斐波那契數列，也稱兔子數列，是意大利數學家斐波那契在《算盤書》中提出的以兔子繁殖為背景的一個數列，從第三項開始每一項都是前兩項之和。將這個數列前后相鄰兩項作比值得到一個新數列，……產生的新數列逐漸穩定在0.618 處。學生大膽猜測斐波那契數列與黃金分割密不可分，其前后兩項的比值會趨近于。斐波那契數列的通項公式為：

由法國數學家比內給出，故又稱比內公式。其中含有兩個與黃金分割比有關的無理數，一個是其倒數，另一個是其相反數，然而它卻表示了一個由正整數構成的數列，這是多么神奇的數學公式，它的奇異美讓人驚嘆。

活動5：感受斐波那契螺旋線的神奇與美妙

很多植物種子的排列也與這個神奇的數列有關，如向日葵種子（圖5）的排列由逆時針的螺旋線和順時針的螺旋線構成。仔細觀察螺旋線數目，會驚喜地發現它們總是相鄰的兩個斐波那契數（圖6）。松果、菠蘿中也存在這樣的螺旋線。植物種子按這樣的規律排列，可使種子的堆積效率最高。

圖5

圖6

問題5：借助斐波那契數列你能畫出斐波那契螺旋線嗎？

自然界中對數螺線無處不在，如，鸚鵡螺外殼、蜘蛛網、漩渦星系的旋臂……含黃金比的螺線被看成是完美對數螺線。斐波那契螺旋線與黃金螺旋線非常近似，選取一個以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，在每個小正方形里畫一個 90° 的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺線，如圖7。

圖7

設計意圖：帶領學生走進自然，探索大自然的密碼，從花瓣數目、植物種子排列方式發現斐波那契數列，認識它的通項公式，尋找黃金比。欣賞美麗的黃金螺線，畫出斐波那契螺旋線，感受數學之美。讓學生在美的體驗中領悟到大自然中處處閃爍著美妙的數學智慧，從而讓學生熱愛自然、熱愛數學。

環節4：體會黃金分割之應用美

黃金分割的比例美與和諧美被應用到社會生活的各個領域，它已成為創造和諧生活環境的一種常見方式。人體溫度是 36° 左右，使人舒適的溫度為 22 °左右，人們常將室溫調至 22°，接近于黃金分割比。主持人報幕會選擇舞臺全長的0.618 處，家具外觀設計長寬之比接近0.618，賞心悅目的攝影作品構圖考慮黃金分割比，二胡為獲得最佳音色，其“千斤”需放在琴弦長度的0.618 處。中國古代畫論中說“丈山尺樹，寸馬分人”，山水畫中山、樹、馬、人的大致布局接近于黃金分割比。

華羅庚先生的優選法于20 世紀70 年代在我國進行推廣，因其簡潔高效被運用電子、機械、化工、石油、交通運輸、糧食加工等多個領域，其中包含0.618法，也稱為黃金分割法，在優選時將嘗試點放在黃金分割點上尋找最優選擇。0.618 法以較少的試驗次數、找到合理的組合方案、合適的工藝條件。

尋找身邊黃金分割應用的例子，收獲美的體驗。

設計意圖：讓學生認識黃金分割應用的廣泛性。讓學生拓展美、留住美，用數學的眼光觀察世界，感受黃金分割之美，體會數學之美，用數學知識創造更美好的世界。

環節5：數海拾遺收獲美

暢談本節課的收獲，從學習了什么知識，到領悟了什么方法，獲得什么樣的情感體驗，得到哪些啟發。學生暢所欲言，課堂氛圍熱烈而濃厚，在輕松愉悅的環境中收獲滿滿。

教師總結：畢達哥拉斯學派崇尚美，他們在對數學的研究中不斷發現美，美表現在數量比例的對稱與和諧中。黃金分割古老而又神奇，總與美聯系在一起，在人們身邊隨處可見，給人以美的享受。

設計意圖：將數學文化的育人價值滲透到教學中，以欣賞數學文化為主線、認識數學與自然、人文社會的緊密聯系，感受數學的無窮魅力與應用價值。

三、小結與反思

數學與藝術、建筑、音樂等領域存在深刻的聯系，生活中處處演繹著數學的奇妙有趣、智慧和諧，輻射出數學文化的迷人魅力。人體結構、建筑、繪畫、優選法等蘊含美的事物與黃金分割相關，植物生長、動物繁殖等具有美的規律的現象與斐波那契數列相關。找到變化中的不變性，探究內部數學規律，領悟數學價值，進而體會其科學價值、美學價值。張奠宙先生認為：從欣賞外部形狀的美觀，進而領略內涵智慧的美妙，欣賞數學精品，重在展示數學智慧之美妙。本節課旨在讓學生感受數學與美的結合，通過精美有趣的圖片、動畫、視頻，使學生從形和數的角度感受黃金分割之美、數學之美、自然之美、生活之美，引導學生發現美、探索美、欣賞美、領悟美、應用美、創造美。