高校高等數學教學改革的探索研究

楊冠

摘 要 高等數學乃高校教學過程中必不可少的一門課程，然而其內容多，邏輯性強，抽象性高等特點，導致教學過程變成“教師教，學生學”的狀態，為了緩和這種僵硬的教學模式，現對高校高等數學教學的改革做了一些探討。本文利用符號計算軟件Mathematica，對高等數學工科類的教學課時做了簡單的分配，同時在各章節中的極限、導數、積分分別舉了例子，學習Mathematica的命令語句編寫，函數調用等格式，并介紹引入數學建模案例在教學中的重要性。

關鍵詞 高等數學 Mathematica 數學建模

中圖分類號：G640 文獻標識碼：A

0引言

如今，學生的綜合素質能力和創新能力是我們所關注和著重培養的，而對于數學這類基礎性學科，普遍學生學習起來既枯燥又抽象，若能結合計算機軟件方面的實現，使得數學知識更直觀、更容易理解便成了一個重要的課題。高等數學是我校大一新生入校后就開設的重要基礎課程，課程內容多，教學課時少，且邏輯性比較強，具有高度的抽象性，而學生的基礎參差不齊，有的基礎較好，掌握的內容可以多樣化，除了教材上要求掌握的內容之外，還可以穿插一些考研試題在內，讓學生更深入了解數學的定義、實例，以及能運用到實際生活中；而有的學生基礎較差，對于書本知識可以聽懂、會做課后練習就已經是最好的效果，然而日復一日，通過常規的教學后發現，學生的學習積極性在逐漸消退，這對我們教師的教學也就提出了挑戰。針對這些狀況，近幾十年來許多院校對高等數學課程的改革進行了一些討論研究，提出了調整優化教學內容和體系，開設數學實驗和數學建模課的設想，還有許多文獻研究了數學建模和數學實驗的系統模式，對如何通過這門注重理論聯系實際的課程培養學生的想象力、洞察力、直覺思維、發散思維、動手能力，以及應用能力和創新能力進行了探索。由于高等數學課程本身所具有的特點，在教學實踐的過程中不能完全拋棄傳統的教學方式來進行推理、論證，因此試行將數學軟件融入教材內容、教學過程、學習過程、實踐與評估過程等的教學改革中。

1數學軟件的介紹

Mathematica是美國Wolfram研究公司開發的符號計算系統，是Mathematica產品家族中最大的應用程序，內容豐富并功能強大的函數覆蓋了初等數學、微積分和線性代數等眾多的數學領域，是一個做數學和學數學的軟件。Mathematica是模塊化系統，能夠支持任意精度的數值計算、符號運算及可視化功能，其執行運算的內核（Kernel）與處理用戶交互的前端（FrontEnd）是相互分離的。與同類軟件Matlab相比，其安裝方便、啟動快捷、編程簡單，因此作者選擇Mathematica軟件作為主要工具來研究。

2 Mathematica軟件嵌入教學課時分配方案

由于高等數學課程分為兩個學期來教學，其中上學期占的學時重，基礎內容多，下學期相對教學學時少，內容主要集中于多元函數方面，在Mathematica嵌入教學過程中時，需占據部分傳統教學課時，作為一門計算工具，它又不能超越教材而只注重軟件的使用介紹，故能對課時做合理的安排是非常關鍵的，現對教學課時分配如表1，僅供參考。

在原課時的基礎上，對其中部分章節多加入0.5-1個學時，增加數學建模示例的課堂講解，通過Mathematica軟件的一些計算，使得高等數學的課程更充實、更具有挑戰性，不僅對教師，也對學生提出更高的要求。

3利用數學軟件的基礎知識來豐富教學內容

數學軟件Mathematica的基礎命令調用較容易，操作簡單，課堂上對該軟件的功能做簡介后，主要在以下幾個方面來簡要闡述如何進行嵌入教學。

3.1函數極限的體驗教學

3.1.1 一元函數極限的體驗教學

在高等數學教學至今， 一元函數極限的手工計算一直以來都是大家所推崇的，然而對于一些抽象的或證明稍長的極限，基礎較差的學生并不愿意去深入研究它的過程，所以若能直觀的得出想要的結果，利用數學軟件來實現更能得到學生的親睞。

例1 單調有界數列必有極限的存在準則證明了重要極限二（1+）=，教學過程中調用計算函數極限的命令： [f[x]，x→x_{0}]，驗證其極限值。調用函數格式為Limit[（1+1/x）^x，x->Infinity]或者Limit[（1+x）^（1/x），x->0]，運行結果均為e。

例2 函數極限與數列極限的關系定理發現，sin極限不存在也不為無窮大。通過作圖命令Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi/10，Pi/10}]，得圖1。很顯然，當x無限接近于0時，sin（1/x）在數值1附近無限次震動，沒有任何趨近某個固定常數的趨勢，結論得證。通過該示例告訴我們，圖形是教學中很好的輔助解釋。

3.1.2二元函數極限的體驗教學

二元函數極限的計算較一元函數極限計算難，對自變量（，）→（，）的要求較高，但若某個二元函數的極限存在，計算過程卻類似于一元函數，當學生對一元函數極限掌握較好時再算二元函數的極限也是容易的。所以，二元函數極限的難點在于證明極限不存在的情況。可采取如下做法：二元函數z=的圖形是一張曲面，通過數學軟件做出二元函數的圖形，觀察已知點處的極限，再結合證明過程進行分析。

3.2導數計算示例

本小節主要對隱函數和參數方程的導數進行探討。

3.2.1隱函數的導數計算

隱函數即因變量不一定能用自變量直接表達，而是由類似于方程所確定的函數。通過公式手動計算方程兩端的導數可以得出，借助于數學軟件的操作卻略顯繁瑣，在Mathematica中求隱函數的導數由求導和解方程兩個步驟組成。

例3 求方程+ln=所確定的隱函數的導數，步驟如下：

大學的教育還包括鍛煉學生的自學和自我思考的能力，在沒有教師指導的情況下需要他們自己會驗證結果的正確性，雖然該過程需分兩步進行，但也是值得學生去操作和學習的，并且還可以考慮高階導數如何繼續利用Mathematica求解。

3.2.2參數方程的導數計算

參數方程的導數為因變量對參數的導數除以自變量對參數的導數，根據教學大綱的要求，工科類學生至少掌握到參數方程的二階導數，但公式的記憶是學生容易混淆的，通過示例的講解，能加深記憶。

例4 計算由擺線的參數方程所確定的函數的二階導數。

最后一行通過化簡可得。從示例可見，利用軟件求解參數方程導數時，不僅會調用求導命令外，還需學生先記住導數公式，在輸入變量、參數等過程中同時也加深了對公式的掌握，另數學公式的記憶不能靠死記硬背，其中的原理必居首位。

3.3符號計算系統中的積分

3.3.1不定積分

不定積分的題目類型眾多，教材課后練習、各種習題集中的題目讓學生看得眼花繚亂，使得不定積分的積分方法忘記得一干二凈，并且積分結果的不唯一性也給學生帶來巨大的困難，常常導致否定自己的計算結果。在Mathematica強大的符號運算功能前面，各種積分方法顯得微不足道，通過不定積分的語法Integrate[被積函數，積分變量]或利用工具欄按鈕即可求出。

3.3.2定積分

高等數學最重要、最具有代表性的概念—定積分，定積分概念是高等數學中的一個精華，它體現了應用微積分的思想和方法，它幾乎涵蓋了所有的自然學科。對定積分的計算是高等數學課程中的重要知識點之一。它在符號計算系統軟件Mathematica中的語法區別于不定積分，僅增加了積分變量及積分上下限。例如計算。

重積分的計算中，首要解決的問題是做出積分區域 的圖形，通過對平面圖形或空間圖形的分析和積分區域的確定，借助積分的計算命令可得結果。例如三重積分的一個例子：，其中 由拋物面及所圍成。立體積分區域的確定是至關重要的，若在黑板上作圖，不能保證作圖的準確性，給學生理解造成困難。若利用Mathematica作圖，命令語句和圖形（如圖2）顯示如下：

4利用數學軟件的綜合知識來提高教學效果

高等數學的教學過程中融入數學建模的思想可以給學生直觀上的感受，引導學生自主學習，還可以使得學生利用數學知識作為工具去解決實際問題。Mathematica能求解線性與非線性的常微分方程（組）的準確解，能求解的類型大致覆蓋了人工求解的范圍，功能很強。例如在講解常微分方程這一章節時，可以插入數學建模的思想，通過對實際問題的分析，建立模型，引入數學軟件Mathematica求解，這一系列的過程可以讓學生逐漸享受數學、享受建模。

例5 設有一質量為m的質點做直線運動。從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一致、大小與時間成正比（比例系數為k1）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數為k2）的阻力作用。求質點運動的速度與時間的函數關系。

解答：根據牛頓定律，得出方程m=k1t k2v，可化簡為一階線性微分方程+v=t，利用軟件求解如下：

為了語句編寫方便，其中記k1→M，k1→m。v（t）的通解、特解都與通過常數變易法的結果一致。該示例難易程序低，教師可根據學生層次提高題目難度（例如如何求出數值解等）、分析過程加長、程序增多等方法來提高教學效果。

5結束語

本文在極限和積分部分考慮了一元和多元的情形，結合圖形分析求解可以提高教學的準確性，給學生傳達知識的方式呈現多元化，也給手動計算結果提供了驗證方法。

在高等數學的教學過程中發現，學生出現的狀況多種多樣，由于篇幅有限，文章僅討論了學生學習中易錯、難記等方面的實例，并且只針對高等數學工科學生，未增加實踐學時，這乃其中一大缺陷，希望在今后的教學中能有所改善。

參考文獻

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