分數階二次非線性Sprott混沌系統的滑模同步控制

毛北行,程春蕊

(鄭州航空工業管理學院理學院,河南鄭州450015)

1 引言

控制系統的混沌同步問題近年來備受關注[1],隨著分數階微積分的發展越來越多的學者開始研究關于分數階混沌系統的控制與同步問題[2?3],文獻[4]研究了一類不確定分數階混沌系統的自適應滑?；煦缤絾栴},能夠使驅動系統與響應系統達到同步;文獻[5]基于主動滑?？刂品椒▽崿F了分數階混沌系統的同步控制;文獻[6]分別采用線性反饋和主動控制法研究了兩個不同Sprott混沌系統的控制與同步問題;文獻[7]研究了一類簡單二次非線性Sprott混沌系統的分析與控制,得到了平衡點的穩定性與Hopf分岔;文獻[8]研究了一類不確定混沌系統的自適應滑模終端控制問題.本文研究了分數階二次非線性Sprott混沌系統的滑模同步控制及滑模終端控制問題,得到了分數階Sprott系統取得滑模混沌同步的充分條件.

定義1[9]Caputo分數階導數定義為

2 分數階滑模同步控制問題

二次非線性Sprott混沌系統[8]

其中x1,x2,x3∈R3為系統的狀態變量,當b=2,c=1時出現混沌吸引子,設計對應的分數階系統為主系統

當α=0.95,b=2.1,c=1.2時系統呈現混沌態,對應的從系統設計為

定義系統誤差

上述兩式相減得到誤差系統為

定理1選取滑模面控制器

則分數階系統(2.2),(2.3)是滑?；煦缤降?

證當狀態軌跡位于滑模面上時,s(t)=0,(t)=0.

由由得到從而根據分數階微積分理論得e1(t)→0.同理,由所以得e2(t)→0.又由滑模面上s(t)=0,所以ηsgn(s(t))=0,又由于

由于積分可以得到

所以s(t)是可積的且有界,根據引理1(Barbalat引理)可知s(t)→0?ei(t)→0.

由以上分析可知,誤差系統將收斂于零.

3 分數階滑模終端控制問題

以系統(2.2)為驅動系統,如下系統為響應系統

假設1設不確定項△fi(y)和外部擾動di(t)有界,即存在mi,ni＞0使得

假設2mi,ni(i=1,2,3)未知.

定義系統誤差e1=y1?x1,e2=y2?x2,e3=y3?x3,很容易得到誤差方程

引理2[11]假設存在連續正定函數V(t)滿足微分不等式

式中p＞0,0＜η＜1是兩個正常數,則對于任意給定的t0,V(t)滿足如下不等式

引理3[12]設有實數a1,a2,···,an,0＜q＜2,則有下列不等式成立

針對誤差系統(3.2)設計非奇異終端滑模面

定理2誤差系統(3.2)在非奇異滑模面(3.3)上,系統的軌跡在有限時間ts內到達平衡點,其中

證誤差系統滿足滑模面方程于是有

由引理3得

又由引理2易得誤差軌跡會在有限時間ts內達到平衡點且

定理3在控制器(3.5)和自適應律(3.6)的作用下,誤差系統(3.2)的狀態軌跡能達到滑模面.

控制器選取趨近律控制,ki＞0為增益系數,表示趨近速度,式中分別為mi,ni的估計值,設計如下自適應律

由于si·sgn(si)=|si|,再根據假設條件1,2,很容易得到

由

其中 k=min{λ1,λ2,λ3}.不難得到

所以si(t)是可積的且有界,根據引理1(Barbalat引理)可知s(t)→0?ei(t)→0.

4 數值仿真

為了說明方法的正確性,利用四階龍格-庫塔法對系統進行仿真研究.

定理1中,系統參數選取α=0.95,b=2.1,c=1.2,選取滑模面控制器

驅動系統與響應系統的初始值分別設置為

其系統的誤差曲線如圖1所示.圖2,3分別對不加和加上控制器兩種情況進行仿真,誤差系統(2.3)中的不確定項分別為

外部擾動取d1(t)=0.2cost,d2(t)=0.6sint,d3(t)=cos3t,驅動系統與響應系統的初始值分別設置為(x1,x2,x3)=(7.3,6.4,9.2),(y1,y2,y3)=(8.5,5.7,3.6)無控制器和有控制器系統狀態的兩個仿真結果分別如圖2,3所示,如果滑模面參數取λ1=3,λ2=4,λ3=7,r=0.6,控制器中的參數選取為(0.8,0.6,0.3),此時的系統誤差曲線和仿真結果如圖4所示,圖4看出系統的誤差很快趨近于零.

圖1:定理1中的系統誤差曲線

圖2:無控制的主從系統狀態

圖3:有控制的主從系統狀態

圖4:定理3中系統誤差曲線

5 結論

基于穩定性理論研究了分數階二次非線性Sprott系統的滑?；煦缤娇刂萍盎＝K端同步控制問題,并給出了嚴格的證明,數值仿真表明了方法的有效性,文中分數階滑模面的設計可以用來解決一類分數階混沌系統的滑模終端同步控制問題.

參考文獻

[1]李德奎,連玉平.單時滯類Lorenz系統的Hopf分岔分析[J].數學雜志,2015,35(3):635–642.

[2]Mohammad P A.Robust finite-time stabilization of fractional-order chaotic susyems based on fractional Lyapunov stability theory[J].J.Comp.Nonl.Dyn.,2012,7:1011–1015.

[3]孫寧,張化光,王智良.不確定分數階混沌系統的滑模投影同步[J].浙江大學學報(工學版),2010,44(7):1288–1291.

[4]余明哲,張友安.一類不確定分數階混沌系統的滑模自適應同步[J].北京航空航天大學學報,2014,40(9):1276–1280.

[5]仲啟龍,邵永輝,鄭永愛.分數階混沌系統的主動滑模同步[J].動力學與控制學報,2015,13(1):18–22.

[6]徐登國.兩個不同Sprott混沌系統的控制與同步研究[J].動力學與控制學報,2007,5(4):330–333.

[7]Grigoras V,Grigoras C.A novel chaotic systems for random pulse generation[J].Adv.Elec.Comp.Engin.,2014,14(2):109–112.

[8]付景超,孫敬,李鵬松.一類簡單二次非線性Sprott混沌系統的分析與控制[J].吉林大學學報(理學版),2015,53(3):395–400.

[9]Podlubny.Fractional differential equation[M].New York:Academic Press,1999.

[10]梅生偉,申鐵龍,劉志康.現代魯棒控制理論與應用[M].北京:清華大學出版社,2003.

[11]Bhat S P,Bernstein D S.Geometric homogeneity with applications to finite-time stability[J].Math.Control Sign.Sys.,2005,17(2):101–127.

[12]Mohammad P A,Sohrab K.Finite-time synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters via sliding mode technique[J].Appl.Math.Model.,2011,35(6):3080–3091.